有理数和无理数到底哪个多？
有理数和无理数到底哪个多？
在数学的世界里，有理数和无理数的数量关系一直是一个令人着迷的话题。通过康托尔的集合论，我们得以窥见这个神秘领域的冰山一角。
这是自然数、整数、有理数和实数的关系。
但你可能被这张图误导了。
事实上，它们的对比关系是这样的，因为无理数比有理数多得多。
有理数是整数与分数的统称，当然包括有限小数及循环小数，因为他们都能化为分数的形式。
而无理数则是无限不循环小数，比如圆周率π和自然对数的底e。
得出这个结论的是一位驰骋在无限王国里的勇士——康托尔。
他提出：衡量无穷不能用传统的数字，而是要用到超限数，又被称为“基数”或“势”。就如同超级富豪的财富，不必纠结账上精确的末尾数字，而是要比较财富的数量级。
康托尔的大招就是一一对应。类似于左手和右手的手指能一一对应，那么两只手的手指数就相等，两个无穷的比较也是如此。
所以他得出一个结论：自然数、整数与有理数都一样多。因为它们都是可数的，也就是能按照一定的规则排列，且不会遗漏任何一个，这样就能和自然数一一对应。康托尔将它们的基数定义为：א0（阿列夫零）。从编号就能看出这是最基本的无穷。
那么所有的无穷都是可数的吗？
并不是！
康托尔发现实数就不可数，甚至都不用考察全体实数，只需要考察（0，1）之间的实数，他将任意一个区间内的所有实数称为连续统。
他用了反证法，假设0到1之间的实数能够与自然数一一对应，那就能列出这样两个数列：
而自然数n对应的实数为Xn
那么总可以在（0，1）之间找到一个实数b，b=0.b1b2b3b4b5…bn…
使得b1≠X1的第1位小数，b2≠X2的第2位小数，以此类推，总之bn≠Xn的第n位小数。
这说明了b不可能等于右侧数列上的任何一个数字，因为它与数列上任意一个数，至少有一位数字不同。
而b又是（0，1）内的实数。
那就只有一种可能，我们无法做到让自然数与（0，1）内的实数一一对应。
无论列出多么庞大而细致的数字表格，总能在其中找到“空隙”，生成更多新的实数插队进来，所以（0，1）内的实数是不可数的。
0与1之间的实数是比自然数“更高一级的”无穷。
康托尔将它的基数定义为c，意为英文“连续统”的首字母。
这是1874年康托尔的重要发现：连续统的不可数性。
他第一次找到了不可数的无穷。
无限王国出现了等级，无穷与无穷并非全都相等：c>א0
我们知道实数是由有理数和无理数组成的，而有理数是可数的（因为它能有序排列，其基数等于自然数），所以无理数必然不可数。
数轴上排得密密麻麻（稠密的）的有理数，在无理数面前实在太稀疏了。
这一幕仿佛《庄子》庖丁解牛故事里的“以无厚入有间”（来自《庄子・养生主》，原意为：用很薄的（刀刃）插入有空隙的（骨节））。
而康托尔的集合论，就是解剖无穷世界的利器。
在无穷的世界里，康托尔得到了更多反直觉的结论：任意一小段数轴上的实数与全体实数一样多；任意实数轴上的点与二维平面上的点一样多，甚至与n维空间中的点也一样多。
大胆闯入无穷世界的康托尔，遭到了来自各方数学家的攻击，但他坚信自己的理论坚如磐石，射向它的每一枝箭都会迅速反弹。