PADE近似原理及算例
PADE近似原理及算例
PADE近似原理及算例
基本原理
PADE近似是以有理分式的形式对目标函数$f(x)$进行逼近的。假如以零点为领域，其具体形式如下所示：
$$
R_{m,n} = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_mx^m}{1 + q_1x + q_2x^2 + \dots + q_nx^n} \tag{0}
$$
分子$p(x)$是$m$阶多项式，$q(x)$是$n$阶多项式，$R_{m,n}$也被称作是函数$f(x)$的$[m,n]$阶PADE近似。
算例1：$e^x$的PADE近似
基本思想：利用$f(x)$在$x=0$处，$m+n$阶泰勒展开表达式，求解PADE近似$R_{m,n}$的系数：
$$
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} + \frac{f''(0)}{2!} + \dots + \frac{f^{(m+n)}(0)}{n!} + O(x^{m+n}) \tag{1}
$$
$$
f(x) = R_{m,n}(x) + O(x^{m+n}) \tag{2}
$$
在上述公式中，（1）和（2）相等，所以我们可以将（1）和（2）联立求解$R_{m,n}$的系数。
以$f(x) = e^x$的$[1,1]$阶PADE近似为例，具体如下：
$$
1 + x + \frac{1}{2}x^2 = \frac{p_0+p_1x}{1+q_1x}
$$
$$
p_0+p_1x=(1+x+\frac{1}{x}x^2)(1+q_1x)
$$
将2阶以上的高阶项忽略，等式左右两边系数相同，所以得到如下式子：
$$
\begin{cases}
p_0=1 \
p_1=1+q_1 \
\frac{1}{2}+q_1=0
\end{cases}
$$
求解所得，如下所示：
$$
\begin{cases}
p_0=1,\
q_1=-0.5,\
p_1=0.5,\
\end{cases}
$$
所以，$f(x) = e^x$的$[1,1]$阶PADE近似，具体如下所示：
$$
e^x_{PA_{1,1}} \approx \frac{1+0.5x}{1-0.5x}
$$
MATLAB实现
使用Matlab求解Pade近似表达式。Matlab求解$e^x$的$[1,1],[2,2],[3,3]$阶PADE近似，具体如下所示：
clc; clear;
syms x;
pade(exp(x),x,0,'Order',[1 1])
pade(exp(x),x,0,'Order',[2 2])
pade(exp(x),x,0,'Order',[3 3])
% pade(sin(x),x,0,'Order',[1,1])
% pade(sin(x),x,0,'Order',[2,2])
%
% taylor(sin(x),x,'Order',1)
hold on;fplot(exp(x),'r-*','linewidth',3)
fplot(pade(exp(x),x,0,'Order',[1,1]),'g','LineWidth',1)
fplot(pade(exp(x),x,0,'Order',[2,2]),'b','LineWidth',2)
fplot(pade(exp(x),x,0,'Order',[3,3]),'k','LineWidth',3)
grid on;axis([-2 2 0 8]);legend('exp(x)','[1,1]','[2,2]','[3,3]')
相关参考
- 鲸大鱼的自我修养关于Pade近似的相关blog