切应力公式推导讲解

切应力公式推导讲解

文档简介

材料力学主讲人：陈思娇
弯曲切应力

一、切应力公式推导

1、矩形截面梁横力弯曲的梁横截面上内力既有弯矩又有剪力，其应力既有正应力又有切应力。下面对任意荷载作用下，梁横截面上的切应力进行分析。不同形状的梁横截面，其切应力分布规律不同。

（1）两个假设
（a）切应力与剪力平行；
（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。

（2）分析方法
（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段，两横截面均有弯矩和剪力，且两横截面上的弯矩不等，所以两截面同一y处的正应力也不等；
（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个正应力合力即法向内力FN1、FN2不等。在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFS′。ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’
其中微单元dx的长度很小，所以假设切应力沿AB1面均匀分布。将表示出来带入平衡方程，可求出AB1截面上切应力。又由切应力互等定理有
。由此求出横截面上切应力。

（3）公式推导
（a）求、、假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴y1处的正应力为
1
和
2.
为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积。式中：为面积A1对中性轴的静矩。同理：
y1
化简后得
（b）代入平衡方程
ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’
其中
（c）由切应力互等定理，横截面上距中性轴y的点，其切应力计算公式
ABB1A1mnm’ττ’
则y1b
矩型截面的宽度。yz
整个横截面对中性轴的惯性矩。距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩。

（4）切应力沿截面高度的变化规律
同一截面的剪力，惯性矩和宽度都是常数。则切应力
沿截面高度的变化由静矩
与y之间的关系确定。
b
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。
zτmax
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）
τ=0；
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
式中，A=bh为矩形截面的面积。
yz
h/2
y1
即

2.工字形截面梁
工字形截面由腹板和翼缘两部分组成，翼缘上分布的切应力较复杂，且数值很小，可忽略不计。对于腹板上的切应力，假设所求应力的点到中性轴的距离为y。研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
Hoy
xb
zh
dy
（1）切应力公式—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩。
d—腹板的厚度；
Ozy
dxy
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；
（b）最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。最小切应力在腹板上下边缘处。整个界面，则可得腹板内的切应力近似计算公式：

（2）切应力沿截面高度的变化规律
Ozy
tmax
tmax
tmin
假设：
（a）沿宽度k-k'上各点处的切应力均汇交于O'点；
（b）各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.