菲涅耳方程式：折射穿透光强方程式的详解

菲涅耳方程式：折射穿透光强方程式的详解

今天，让我们跟随助教和ChatGPT一起了解一下菲涅耳光强方程式！（今天来轻松一下！）

菲涅耳方程式（Fresnel Equations）是用来描述当光线从一个介质传播到另一个介质时，在两个介质交界面上发生的反射和折射现象。这些方程式主要用来计算反射和折射光的振幅及强度，并取决于入射光的偏振方向。这些现象遵循斯涅耳定律（Snell's Law），同时也受Fresnel方程式的描述。

Fresnel方程式分为两种情况：

1. 垂直偏振（S-偏振）：电场振动方向垂直于入射面（即光线的入射平面）。在这种情况下，反射光和折射光的振幅与入射角和折射角有关，并由以下方程式给出：

2. 平行偏振（P-偏振）：电场振动方向平行于入射面。在这种情况下，反射和折射的振幅则由以下方程式描述：

其中，n1和n2分别是两个介质的折射率，θi是入射角，θt是折射角。

以下是将公式写成程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import sin, pi, cos, arcsin

# 因为后面会一直用不想重複寫np.故這邊先一次import
# 定义介质折射率
n1 = 1
n2 = 1.5
# 定义入射角，从0到pi/2之间切成200个等距点
theta_incident = np.linspace(0, pi/2, 200)
# 定义折射角，依照snell定律利用反正弦得出角度
theta_transmit = arcsin((n1/n2)*sin(theta_incident))
# 垂直偏振光的反射系数
r_TE = (n1*cos(theta_incident)-n2*cos(theta_transmit))/(n1*cos(theta_incident)+n2*cos(theta_transmit)) # 穿透系数垂直偏振
# 平行偏振光的反射系数
r_TM = (n2*cos(theta_incident)-n1*cos(theta_transmit))/(n2*cos(theta_incident)+n1*cos(theta_transmit)) # 反射系数垂直偏振
# 垂直偏振光的折射系数
t_TE = 2*n1*cos(theta_incident)/(n1*cos(theta_incident)+n2*cos(theta_transmit)) # 垂直偏振
# 平行偏振光的折射系数
t_TM = 2*n1*cos(theta_incident)/(n2*cos(theta_incident)+n1*cos(theta_transmit)) # 垂直偏振
# 绘制图表，乘以180/pi是将入射角从弧度转换为度数，alpha调整颜色透明度，--为虚线
plt.plot(theta_incident*180/pi, r_TE, 'b', label = 'r_TE')
plt.plot(theta_incident*180/pi, r_TM, 'r', label = 'r_TM')
plt.plot(theta_incident*180/pi, t_TE, 'b--', label = 't_TE', alpha = 0.5)
plt.plot(theta_incident*180/pi, t_TM, 'r--', label = 't_TM', alpha = 0.5)
# 在 y=0 的位置画了一条水平线
plt.axhline (y=0,color='r', linestyle=' ', linewidth=1)
plt.xlabel('incident degree')
plt.legend()
plt.show()

画出来的图表如下：

这个公式其实是与菲涅耳定律相关的光学现象中的能量守恒表达式。光波从一种介质入射到另一种介质时，反射率R和透射率T的和为1。公式中的E0i E0r和E0i E0t是反射和透射波的电场幅值相对于入射波电场幅值的比值。这些比值的平方分别表示反射率和透射率。

程序代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import sin, pi, cos, arcsin

# 因为后面会一直用不想重複寫np.故這邊先一次import
# 入射系数
n1 = 1
# 出射系数
n2 = 1.5
# 定义入射角，从0到pi/2之间切成200个等距点
theta_incident = np.linspace(0, pi/2, 200)
# 定义折射角，依照snell定律利用反正弦得出角度
theta_transmit = arcsin((n1/n2)*sin(theta_incident))
# 垂直偏振光的反射系数
r_TE = (n1*cos(theta_incident)-n2*cos(theta_transmit))/(n1*cos(theta_incident)+n2*cos(theta_transmit)) 
# 垂直偏振光的折射系数
t_TE = 2*n1*cos(theta_incident)/(n1*cos(theta_incident)+n2*cos(theta_transmit)) 
# 反射率
R = (r_TE)**2
# 透射率
T = ((n2*cos(theta_transmit))/(n1*cos(theta_incident)))*t_TE**2
# 制图
plt.plot(theta_incident*180/pi, R, 'cadetblue', label = 'Reflection')
plt.plot(theta_incident*180/pi, T, 'salmon', label = 'Transmission')
plt.xlim(0,90)
plt.ylim(0,1)
plt.legend()
plt.show()

画出的图如下：

可以看到反射和折射和为1以及两者的关係～代表著能量守恒！