大开眼界，一篇新论文揭示了经典物理学如何解释量子力学

大开眼界，一篇新论文揭示了经典物理学如何解释量子力学

麻省理工学院的一篇新论文提出了一种使用经典物理学来解释量子力学的创新方法。作者认为，费曼将量子力学等同于所有粒子轨迹的总和时，过于复杂化了。实际上，生成量子波函数并不需要考虑粒子的所有可能路径。只需使用一个名为“多值作用量”的概念即可，每个作用量的值对应一个不同的分支或量子历史中的时间线。因此，不必像费曼的路径积分那样计算所有复杂的粒子路径，只需考虑少数关键分支就能描述量子的行为。

经典物理学中的作用量

经典物理学可以追溯到18世纪的法国数学家拉格朗日，它基于最小作用量的概念。作用量是一个数学表达式，

在大多数情况下，它告诉你给定“轨迹”上的动能和势能的平衡情况。（我用引号标出“轨迹”，因为轨迹可以是任何演变或变化的东西，包括流体流动、场或空间本身。）

如果我有一个球并从高度处将其释放，作用量是沿着轨迹所有点的拉格朗日量的总和。而拉格朗日量是动能（质量乘以速度的平方的一半）减去势能（质量乘以重力加速度再乘以高度）。当球下落时，势能减少，而动能增加。然而，在整个下落过程中，轨迹是使作用量（即拉格朗日量随时间的总和）“最小”的。

这个最小的作用量意味着没有其他轨迹能够产生更小的作用量。由于最小作用量发生在球笔直下落时，球不可能沿其他轨迹运动。

作用量的单位是能量乘以时间。另一个具有相同单位的量是普朗克常数，它将光的波长与光子的能量量子联系起来。这就是为什么在量子力学中，任何出现作用量的地方，它的单位总是被该常数抵消，从而得到一个无量纲的量。普朗克常数是一种作用量的单位。

从经典到量子

要理解如何从经典物理学得到量子力学，以及我们可能走错的地方，我们需要回到开端。经典力学可以通过三种方式描述：(1) 最小作用量，(2) 等价的哈密顿方程，或(3) 哈密顿-雅可比方程。在后者方程中，作用量本身（有人称之为哈密顿的主要函数，但我称之为作用量）是需要求解的变量。

早在1920年代，薛定谔使用哈密顿-雅可比方程，通过将作用量除以普朗克约化常数（普朗克常数除以2π）与量子波的相位等同，创造了以他名字命名的著名量子方程。

他并不是凭空发明这个概念的，而是基于几何光学理论推导出来的，几何光学是描述小波长光波传播的理论。这个理论可以追溯到公元前三四世纪的欧几里得，并且在17世纪，法国费马将其与两点之间的最短时间路径联系起来。

在几何光学中，波用复数描述，其中相位是主要的量，因为频率被忽略了。具有不同相位的波前如何相互作用对解释像双缝实验这样的现象至关重要，我稍后会讨论这一点。

使用哈密顿-雅可比方程解释几何光学完全是经典物理学，但通过将作用量与相位等同，薛定谔得到了一个新东西。他得到了将力学（描述球、火箭和行星等的运动的作用量）转换为波前的方法。

薛定谔在此之后所做的只是将现在用波函数而不是作用量表达的哈密顿-雅可比方程作为一个表达式，并假设它是最小的，而不是像经典物理那样精确为零。

这种最后的变化对于普通粒子来说没有改变任何东西，因为零已经是最小值。然而，它确实改变了某些其他量子系统。

薛定谔方程最终非常成功地计算了实验中发现粒子和其他量的概率，成为早期量子力学的基础，取代了早期的海森堡图像方程。

大约20年后，一位名叫理查德·费曼的博士生开始尝试用经典轨迹来描述薛定谔的波。他提出了现在称为路径积分的方法，并证明在某些情况下它等价于薛定谔的波函数。（目前还没有对一般情况下路径积分的严格定义。）这种历史总和（所有可能的路径或“历史”）包括了每一条粒子的曲折路径，即使它的概率极低。费曼的路径是随机的，意味着它们随机地到达最终目的地，多世界解释的支持者认为，每一条路径都有一个独立的世界。

和薛定谔一样，费曼也将经典作用量用作相位。在他的情况下，他计算了每一条曲折路径的波，并将它们全部相加得到他的路径积分。他的方法还表明，最小作用量也是最可能的，这很好地与近似量子到经典物理学的直觉方法相吻合。路径积分对于量子场论、量子电动力学和量子微扰理论的发展，尤其是费曼图，成为计算量子实验中的可观测量的实用工具之一。

新论文的创新观点

所有这些背景信息是为了说明这篇新论文的主张，即费曼的所有曲折路径和薛定谔对经典几何光学哈密顿-雅可比方程的偏离都是不必要的。作者认为我们只需要重新审视经典几何光学的作用量。

大多数情况下，包括薛定谔、费曼、狄拉克等物理学家，假设经典作用量只能有一个值，并且最小化它决定了唯一的路径。然而，这并不完全正确。

当你将不等式约束添加到经典物理问题时，作用量可以是多值的，即多条轨迹会根据约束条件产生不同的最小值。

这是因为最小作用量实际上是“局部”最小值，而不是全局最小值。处于局部最小值就像站在一个山谷的底部。从你的角度来看，你在你能到达的最低点，但如果你翻过周围的山脉，你可能会发现另一个比你所在的山谷更低的山谷。最可能的最低点，例如海平面，称为全局最小值。

如果没有约束，局部最小的最小作用量往往也是全局最小的，但一旦添加了约束，就可能有多个最小值，即多个山谷。物理过程实际上不会找到全局最小作用量，因为约束条件像山谷周围的山脉一样形成障碍。相反，它将寻求局部最小值。

这里有一个例子：假设我有一个球处于零重力状态，没有空气阻力。在外太空中，没有约束条件，球到达某个点的最小作用量总是沿直线进行的。我还需要初速度方向指向我希望球到达的位置。

假设我把球放在一个房间里，这样它可以在两面墙之间弹跳。现在，球可能会弹跳几次后到达某个位置，并且有多种到达该位置的非直线路径。

当球撞到墙壁时，它会以某种弹性力反弹。因此，给定初始位置和速度的情况下，球的作用量允许多个“最短”路径，取决于它在到达某个点之前弹跳的次数。因此，每次弹跳都有一个离散的最小作用量，不是每一条从A到B的曲折路径都是经典允许的路径，但多于一条是。因此，每个弹跳数构成了一个分支，一个替代的时间线。

作者认为，在量子力学中也发生了类似的情况，只不过这里我们处理的是经典几何光学的波前，而不是球。

以双缝问题为例。在这个实验中，有一个带有两个缝隙的屏障。你向屏障发射粒子，例如光子。它们的波通过并在到达探测器屏幕之前相互干涉。这是一个经典实验，只有量子力学可以解释，因为即使我们一次只发送一个粒子，我们仍然看到它与自己发生干涉，尽管它在探测器上显示为一个单独的点。

在双缝实验中，作用量的约束来自两个缝隙。这些缝隙施加了两个约束，因此我们得到两个作用量值，一个左边值和一个右边值。两者都是最小值，作者仅需要这些来计算波函数。

换句话说，你只需采用两个波前的经典行为，考虑两个缝隙的约束，就能计算出整个薛定谔的量子波函数。只有两个可能的分支，整个波函数只是两个经典波前的总和，而不是路径积分假设的无限多个随机波前。

作者展示了这在几个例子中的运作方式：自由粒子、量子简谐振子（量子弹簧）、盒中的粒子以及双缝实验。他们还将其扩展到了相对论量子物理。

他们指出的一个错误是，早期物理学家在从作用量到波函数的半经典近似过程中，假设波函数的幅度无论在哪里沿着其轨迹都是一的。这似乎是有道理的，因为波函数用于计算概率，概率应该总和为一，但数学上和物理上这大多数情况下是错误的。因为在大多数情况下，波函数幅度随着时间的传播必须发生变化。

作者引入了一个称为压缩比的概念来解决这一问题。这个概念使得半经典近似能够得到一个完全量子的解。压缩比类似于流体流动中的微分体积。例如，在活塞发动机中，压缩比是活塞在最低点时，燃烧室最大，和活塞在最高点时，燃烧室最小时的体积差异。高压缩比通常意味着强大动力。

在量子物理学的上下文中，高压缩比意味着粒子在其终态中的某个给定体积内被找到的概率较高。

为什么？

可以这样理解：如果粒子的动态导致它从一个较大的可能位置体积转变为一个较小的体积，那么它在最终体积中被找到的可能性就更高。早期物理学家简单地假设这些是相同的，即粒子的动态使得它在某处到达时的体积约束与离开时相同。但这只对自由粒子（例如盒中的电子）成立。电子在盒子中某处，弹跳到墙壁上，并且最终在盒子中的任何地方找到的概率并没有变化。

在双缝实验中，压缩比由两个缝隙距离发射点的相对距离决定。如果有一侧偏向，那么你更有可能在靠近发射器的那一侧找到粒子。

事实证明，这个压缩比对于哈密顿-雅可比方程和薛定谔方程在经典几何光学动力学下的等价性是必要的。只在自由粒子的标准方法下才能显示薛定谔、费曼和狄拉克的方法等价，因为在这个特殊情况下压缩比为一。薛定谔通过去掉HJ方程的零等式并简单地将其最小化解决了这个问题，但只是将问题掩盖了。