如何利用大九九乘法表培养数感：从平方差公式到巧算技巧

如何利用大九九乘法表培养数感：从平方差公式到巧算技巧

在小学数学学习中，培养数感是非常重要的。大九九乘法表是一个非常有用的工具，可以帮助孩子更好地理解数学概念。本文将从多个层次详细解释如何利用大九九乘法表中的平方差公式来培养数感。

今天来聊一聊如何利用大九九乘法表来培养数感。小学数学最重要的就是培养数感，而大九九表是一个非常有用的建立数感的工具。在学习大九九表中15的那一列时，我们发现15×17=255。这个数有些眼熟，因为它只是比256少了1，而256是16的平方，是2048中的一个数。

另外，我们还会发现：
4²-1，等于3×5；
5²-1，等于4×6；
6²-1，等于5×7；
……
这其实就是平方差公式的运用。其实正式接触这个公式是在初中，而绝大多数初中同学，即使学习了这个公式，也只是单纯是运用在代数计算，很容易忽略该公式对于巧算的巨大贡献。

对于小学阶段的孩子来说，虽然在课内没有学过平方差公式，但是如果能够灵活掌握该公式，对于小学的计算可以提高一个层级。在作者看来，非常有必要让孩子尽早学会这个公式。

下面，分四个层次来详细说明一下关于平方差公式的问题：

第一个层次：理解原理

为什么一个数的平方要比它相邻的两个数的乘积多1？对于不同年龄段的孩子来说，其实解释的方法并不唯一。

三年级以下的还没有学过代数式的化简，就可以用乘法的意义来理解。比如：15×17和16²有什么关系？

我们可以一点一点地去转化去构造：
先把15×17转化为15×16，相当于减少了一个15；
再把15×16转化为16×16，相当于增加了一个16；
在前两步的变形过程中，第一个过程减少了15，第二个过程又增加了16，合并在一起的效果相当于增加了1.这样就解释了15×17比16²少1的底层逻辑。

对于学习过代数式和五大运算定律的孩子来说，该公式完全可以作为一道练习题，让他自行推导：(a-1)(a+1)=a(a+1)-(a+1)=a²+a-a-1=a²-1

第二个层次：灵活运用

于是两个相差为2的数，它们的乘积就都可以转化为它们平均数的平方再减去1。

尤其是大九九表，之前跟大家说了，最重要的就是这一溜完全平方数：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361。

于是，凡是表内相邻奇数或相邻偶数的乘积，就都可以根据这些数直接得出。

比如：
12×14=13²-1=168
16×18=17²-1=288
15×17=16²-1=255

了解这样的规律，不仅对于巧算有帮助，对于孩子的数感更是非常重要的积累。

比如等到了分数的部分，经常会涉及到约分，即找到分子与分母的最大公因数。对于一些由较大质数乘积组成的数，我们往往很难一下子找到它的质因数。

比如323，如果对大九九表中的324很熟悉，你就能很快知道323=324-1，即323=17×19。

第三个层次：向表外推广

一般来说，整十数的平方都非常容易计算。

比如：
30²=900

我们可以轻而易举推出与整十数相邻的两个整数的乘积：
29×31=899

当遇到类似数时，也能很快分解质因数：
1599=39×41

第四个层次：进一步推广

通过观察，我们可以发现大九九表每一个平方数左下角的一串数都很有特点。拿169为例，依次是168、165、160、153，这些数比它依次少1、4、9、16。通过观察，我们发现少的这些数也都是平方数，且它们分别是1、2、3、4的平方。

这是因为（a-b）(a+b)=a²-b²：
当b=1时，就意味着(a+1)与（a-1）的差是2，b²=1，就可以表述成：当两个数相差2的时候，它们的乘积是平均数的平方减1；
当b=2时，就意味着(a+2)与（a-2）的差是4，b²=4，就可以表述成：当两个数相差4的时候，它们的乘积是平均数的平方减4；
当b=3时，就意味着(a+3)与（a-3）的差是6，b²=9，就可以表述成：当两个数相差6的时候，它们的乘积是平均数的平方减9。

有了它们，我们就可以掌握更多的巧算方法。

比如：97×103=100²-9=9991

关于大九九乘法表，还有很多有意思的东西，今后还会陆续分享。它们也都将系统地收录在新书中，敬请期待！