开普勒三大定律

开普勒三大定律

在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕地球运动。它符合人们的直接经验。日心说则认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动，似乎与人们的生活经验不相符合。经过长期论争，日心说战胜了地心说，最终被接受。无论地心说还是日心说，古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动。行星运动果真如此吗？

德国天文学家开普勒用20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符；只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆，才能解释这种差别。他还发现了行星运动的其他规律。开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的下列规律，后人称为开普勒行星运动定律。

开普勒第一定律

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第一定律告诉我们：行星绕太阳运行的轨道严格来说不是圆而是椭圆；太阳不在椭圆的中心，而是在其中一个焦点上；行星与太阳间的距离是不断变化的。

开普勒第二定律

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等（图7.1-2）。

开普勒第二定律告诉我们：当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。

开普勒第三定律

所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

若用$a$代表椭圆轨道的半长轴，$T$代表公转周期，开普勒第三定律告诉我们

$$
\frac{a^3}{T^2} = k
$$

比值$k$是一个对所有行星都相同的常量。

实际上，行星的轨道与圆十分接近（图7.1-3），在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：

1. 行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2. 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动。
3. 所有行星轨道半径$r$的三次方跟它的公转周期$T$的二次方的比值都相等，即

$$
\frac{r^3}{T^2} = k
$$

梳理

1. 围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。（√）
2. 行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（×）
3. 不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。（×）

关键能力

1. 行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2. 由开普勒第二定律可得

$$
\frac{1}{2} \Delta l_1 r_1 = \frac{1}{2} \Delta l_2 r_2, \frac{1}{2} v_1 \cdot \Delta t \cdot r_1 = \frac{1}{2} v_2 \cdot \Delta t \cdot r_2
$$

解得

$$
\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}
$$

即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
3. 开普勒第三定律$\frac{a^2}{T^2} = k$中，$k$值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体$k$值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

例1

某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点a、c在长轴上，b、d在短轴上。若该行星运动周期为T，则该行星

A.从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B.从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C.$a$到$b$的时间$t_{ab} > \frac{T}{4}$
D.$c$到$d$的时间$t_{cd} > \frac{T}{4}$

解：据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由$a$到$b$运动时的平均速率大于由$c$到$d$运动时的平均速率，而弧长$ab$等于弧长$cd$，故从$a$到$b$的运动时间小于从$c$到$d$的运动时间，同理可知，从$d$经$a$到$b$的运动时间小于从$b$经$c$到$d$的运动时间，$A、B$错误；

从$a$经$b$到$c$的时间和从$c$经$d$到$a$的时间均为$\frac{T}{2}$，可得$t_{ab} = t_{da} < \frac{T}{4}$，$t_{tc} = t_{cd} > \frac{T}{4}$，C错误，D正确。

例2

如图所示，1、2分别是$A、B$两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴（近地点和远地点间的距离）是圆轨道半径的4倍。$P$点为椭圆轨道的近地点，$M$点为椭圆轨道的远地点，$T_A$是卫星$A$的周期。则下列说法正确的是

A.$B$卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小
B.地心与卫星$B$的连线在$\sqrt{2}T_A$时间内扫过的面积为椭圆面积
C.卫星$B$的周期是卫星$A$的周期的8倍
D.1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合

解：根据万有引力定律有$F = G\frac{Mm}{r^2}$，$B$卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小，A错误；

根据开普勒第三定律得$\frac{R^3}{T_A^2} = \frac{(2R)^3}{T_B^2}$，解得$T_B = 2\sqrt{2}T_A$，所以地心与卫星$B$的连线在$\sqrt{2}T_A$时间内扫过的面积小于椭圆面积，$B、C$错误；

1轨道圆心在地心，2轨道的一个焦点也在地心，所以二者重合，D正确。

例3

在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是

A.开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律
B.丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点
C.卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
D.伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用

解：万有引力定律是由牛顿发现的，故A错误；

日心说是哥白尼提出的，故B错误；

卡文迪什通过扭称装置测出了引力常量，由黄金代换式可得地球质量，故C正确；

牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，故D错误。