高等数学：映射与函数的系统讲解

高等数学：映射与函数的系统讲解

文档简介

《高数映射与函数》课程导入基础回顾回顾集合论、数列、函数等基础知识。概念理解理解映射与函数的基本概念和定义。学习目标掌握映射与函数的性质和应用。

映射的概念

映射是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。简单来说，映射就是将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起一一对应的关系。例如，我们可以将一个学生集合映射到一个成绩集合，每个学生对应一个成绩。在数学上，一个映射可以用一个有序对的形式表示，例如(a,b)，其中a是第一个集合中的元素，b是第二个集合中的元素。这表示a映射到b。

映射的性质

• 唯一性：对于定义域中的每个元素，映射结果都是唯一的。
• 多值性：同一个映射结果可能对应着定义域中的多个元素。
• 单值性：每个元素只对应一个映射结果，是唯一性的特例。
• 全射：映射结果覆盖了整个值域。
• 一一映射：定义当且仅当映射f中不同的元素对应于不同的元素时，该映射称为一一映射。性质对于一一映射f，有f(x1)=f(x2)则x1=x2，反之亦然。
• 反映射：定义如果一个映射f:X→Y是双射的，则称f为X到Y的反映射。性质反映射是可逆的，其逆映射为f-1:Y→X，满足f-1(f(x))=x和f(f-1(y))=y。应用反映射在数学和计算机科学中广泛应用，例如编码、解密、坐标变换等。
• 复合映射：1定义将两个或多个映射依次进行，形成一个新的映射，称为复合映射。2符号用“∘”表示复合映射，例如：f∘g表示先进行映射g，再进行映射f。3性质复合映射满足结合律，但不一定满足交换律。
• 映射与集合：一一映射每个元素都对应唯一的另一个元素。满射每个元素都有一个对应的映射。双射一一映射且满射，两个集合之间一一对应。

函数的概念

函数是数学中的一种重要概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。函数可以理解为一个“机器”，它接收一个输入值，经过一系列运算后输出一个结果值。函数的定义域是指所有可以作为函数输入的集合。函数的值域是指所有可能的输出值的集合。函数的表示方式1解析式使用数学公式来描述函数的对应关系。2图像以图像的形式直观地表示函数。3表格列出函数的自变量和因变量的对应关系。

函数的性质

• 定义域：函数定义域是指所有可以作为函数自变量的取值集合.
• 值域：函数值域是指函数所有取值的集合.
• 单调性：函数的单调性是指函数在某个区间内随着自变量的增大（或减小）而增大（或减小）的性质.
• 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称还是关于y轴对称的性质.
• 反函数：定义对于函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得对于f(x)定义域内的任意x，都有g(f(x))=x，则称g(x)为f(x)的反函数，记为f-1(x)。性质反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。反函数与原函数关于直线y=x对称。存在条件不是所有函数都有反函数，只有单调函数才存在反函数。即对于任意x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)。

初等函数

• 幂函数
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数

初等函数的性质

• 单调性：初等函数可以具有单调递增或递减的性质，这意味着函数值随着自变量的变化而单调变化。
• 周期性：一些初等函数，如三角函数，具有周期性，意味着函数值在一定范围内重复出现。
• 奇偶性：初等函数可以是奇函数或偶函数，这取决于函数值关于原点的对称性。

复合函数

1. 定义：当一个函数的变量是由另一个函数的值决定的，则称此函数为复合函数。
2. 表达式：y=f(g(x))，其中g(x)是内函数，f(x)是外函数。
3. 例子：y=sin(x^2)，其中g(x)=x^2，f(x)=sin(x)。复合函数在数学中十分重要，它可以用来描述许多复杂的现象。例如，我们可以用复合函数来描述一个物体的运动轨迹，或者描述一个经济系统的变化趋势。

函数的极限

• 无限逼近：当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于某个常数，这个常数就是函数的极限。
• 趋近过程：极限描述的是一个趋近的过程，而不是最终的值。函数值可以无限接近极限，但永远不会完全等于极限。
• 无穷大：函数的极限也可以是无穷大，表示当自变量趋于某个值时，函数值无限增大。
• 间断点：定义函数在其定义域内，如果存在一点，使得该点左右两侧的极限都不存在或不相等，则该点称为函数的间断点。分类间断点可分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

函数的连续性

函数在某一点连续，意味着函数图像在该点没有跳跃或断裂。连续函数的图像可以用一根连续的曲线绘制，没有间断点。函数的连续性在微积分中至关重要，例如求导和积分。

函数的导数

• 切线的斜率：导数是函数在某一点的变化率，可以用切线的斜率来表示。
• 变化率：导数也可以用来表示函数在某一点的瞬时变化率，比如速度和加速度。
• 优化问题：导数在优化问题中扮演重要角色，例如找到函数的极值点。

导数的应用

1. 求函数极值：利用导数可以求解函数的极值，例如最大值和最小值。
2. 求函数单调性：通过判断导数的正负，可以确定函数的单调区间。
3. 求函数凹凸性：利用二阶导数，可以判断函数的凹凸性以及拐点。

导数的运算法则

1. 和差法则：两个函数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差。
2. 积法则：两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
3. 商法则：两个函数的商的导数等于分母的平方除以分子乘以分母的导数减去分母乘以分子的导数。
4. 链式法则：复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数。

高阶导数

• 二阶导数：函数的一阶导数的导数
• 凹凸性：二阶导数可以用来判断函数的凹凸性
• 拐点：二阶导数可以用来求函数的拐点

隐函数的导数

• 定义：隐函数是指用方程表示的函数，无法直接用一个表达式表示，但可以用方程的导数来求出函数的导数。
• 求导方法：利用隐函数方程对自变量求导，然后将导数表达式化简得到隐函数的导数。
• 应用：隐函数的导数可以用于求解隐函数的切线方程、极值、拐点等。

微分

• 定义：微分是对函数在某个点附近的变化量的一种度量。它可以看作是函数在该点附近变化率的线性近似。
• 公式：函数f(x)在点x处的微分记为df，定义为df=f'(x)dx，其中f'(x)是函数f(x)在点x处的导数，dx是自变量的增量。
• 应用：微分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，在物理中，微分可以用来计算物体运动的速度和加速度。

微分的应用

• 切线方程：使用导数来求曲线的切线方程。
• 函数近似：用导数来近似计算函数的值。
• 优化问题：导数可以用来解决优化问题，例如找到函数的最大值或最小值。

微分中值定理

• 罗尔中值定理：在闭区间上连续，在开区间上可导的函数，如果函数在端点处的函数值相等，则存在一点，使得该点的导数为零。
• 拉格朗日中值定理：在闭区间上连续，在开区间上可导的函数，则存在一点，使得该点的导数等于函数在端点处的增量与区间长度的比值。
• 柯西中值定理：在闭区间上连续，在开区间上可导的两个函数，如果这两个函数在端点处的增量不为零，则存在一点，使得该点两个函数的导数之比等于这两个函数在端点处的增量之比。

函数的图像

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的变化规律。通过图像，我们可以观察到函数的单调性、奇偶性、周期性等重要性质。函数图像的绘制方法多种多样，常用的方法有：

• 描点法
• 利用函数性质
• 利用计算机绘图软件

坐标变换

• 二维坐标系：通过平移、旋转或缩放变换，可以改变坐标系的位置和方向。
• 三维坐标系：三维坐标系中的坐标变换涉及到三个维度，例如平移、旋转和缩放。

函数的极值

• 极大值：函数在某个点取得的最大值。
• 极小值：函数在某个点取得的最小值。
• 驻点：函数在该点的导数为零。

函数图像的描绘

函数图像的描绘是数学分析中重要的内容。通过描绘函数图像，我们可以直观地理解函数的变化规律和性质。