1.3热平衡载流子浓度

1.3热平衡载流子浓度

半导体中的载流子包括电子和空穴。半导体的所有电子都能被称为载流子吗？空穴又是什么？下面通过硅共价键结构和能带图来说明。

1.3.1 半导体中载流子的来源

半导体中的载流子来自哪里？其一来自价带，即依靠本征激发；其二来自杂质，依靠杂质的电离。

1. 本征激发

在绝对0 K下，价带被电子填满，导带上没有电子。随着温度的升高，价带上的那些获得了高于禁带宽度的能量的电子就跃迁到导带，成为自由电子，在价带留下了空穴，如图1.34所示。这种跃迁的根源是温度，所以又称为热激发。

（a）热激发原子结构图
（b）热激发能带图
图1.34热激发示意图

本征激发到导带上的电子量取决于价带上电子的能量的大小和禁带宽度的大小，而价带上电子的能量取决于温度（T）。因此影响本征激发载流子浓度的因素有两个——禁带宽度和温度。图1.35为两种不同半导体材料（Si和4H-SiC）的本征载流子浓度和温度的关系。从图中可以看出，在300K时，Si和4H-SiC的载流子浓度分别为
在540K时，Si的载流子浓度为
在700K时，4H-SiC的载流子浓度为

图1.35 Si和4H-SiC本征载流子浓度和温度的关系曲线

这些数据告诉了我们什么？它告诉我们：第一，本征载流子浓度强烈依赖于禁带宽度的大小，4H-SiC的禁带宽度是3.26eV，Si的禁带宽度是1.1eV。禁带宽度的差距造成本征载流子浓度在同一温度差20个数量级，这对半导体器件性能的影响是巨大的。第二，本征载子浓度随温度增加而迅速增加。对于Si来说，温度从300K增加到540K，载流子浓度增加了5个数量级，这对半导体器件性能的影响是致命性的。因为半导体器件的损坏主要是热损坏，其中的主要原因之一就是本征载流子浓度随温度迅速增加。第三，如果依靠本征激发来获得载流子的话，量太少，不足以用于传导电流。半导体的载流子来源主要依靠掺杂，对于像单晶硅这类的Ⅵ族元素半导体，掺入Ⅲ和Ⅴ族元素，既可以增加载流子浓度，又能改变半导体的导电类型。

2. 掺杂

图1.36为掺入Ⅴ族元素P的单晶硅的原子结构示意图和能带图。Ⅴ族原子取代晶格中的硅原子的位置，它的四个价电子形成共价键后，还多余一个价电子。带正电的施主（失去一个电子）杂质本身为正电中心，它可以束缚这个多余的电子在其周围运动，形成一个量子态。其束缚力为正电施主中心和多余的电子之间正负电荷的引力，该束缚力小于共价键的束缚力，所以共容易电离，成为导带上的自由电子。通常用电离能来表示束缚的强弱。硅中常用的Ⅴ族元素的电离能为：

（a）电离后的掺P原子结构示意图
（b）电离后的能带图
图1.36 掺P的Si原子结构示意图和能带图

Ⅲ族元素的原子由于只有三个价电子，由其代替硅形成四个共价键时，就要从其他共价键上夺取一个电子，这样就形成了一个负电中心，另外产生一个空穴，如图1.37所示。带负电的受主（接受了一个电子）中心可以束缚带正电的空穴在其周围运动。使空穴摆脱受主束缚所需要的能量就是受主的电离能，硅中常用的Ⅲ族受主电离能为：

（a）电离后的掺B原子结构示意图
（b）电离后的能带图
图1.37 掺B的Si原子结构示意图和能带图

既然本征激发和掺杂都能产生载流子，那么载流子应该遵循什么样的分布呢？载流子浓度应该怎样计算呢？

1.3.2 半导体中的载流子分布

半导体中的电子数目非常庞大，以Si为例，硅原子密度是:
这意味着每立方厘米的电子数就约为：
这意味着，虽然对于每一个电子来说，它可能因其所具有的能量的变化而出现在不同的能带中（或价带，或导带），但对于大量电子来说，在热平衡状态下，电子按能量的大小具有一定的统计分布规律，那就是费米狄拉克分布。

1. 费米狄拉克分布

三种不同的微观粒子，经典粒子、玻色子和费米子遵循三种不同的统计分布。经典粒子，遵循玻尔兹曼分布；玻色子——光子，遵循玻色-爱因斯坦分布；费米子（包括质子、中子、电子），遵循费米狄拉克分布。

通过A、B两个粒子住进F1、F2和F3三间房来理解三种统计。费米子的特点是“全同”和遵循泡利不相容原理；玻色子的特点是“全同”；经典微观粒子，不全同。因此它们的分布方式是不同的，费米子是相貌雷同的独行侠——每个量子态只允许一个电子居住，因此只有1.2.3三种排列方式，如图1.38所示。玻色子是相貌雷同可同居一室的好友——每个量子态可同时居住多个玻色子，所以才有激光（同频、同相位和同方向，因此有1、2、3、4、5、6六种排列方式。经典粒子是相貌各异可同居一室的“好友”——每个量子态可同时居住多个粒子，因此有1、2、3、4、5、6、7、8、9九种排列方式。

图1.38三种微观粒子分布特点示意图

虽然三种粒子各有特点，但也有共同点——喜欢住在“低楼层”。玻色子（如光子）和经典粒子会一股脑地全部住在最低能级，只有费米子会一如既往地坚持独居风格，井井有条地一个一个排队住进为它们打造的“单间”量子态中，遵守费米狄拉克分布。在热平衡状态下，对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为
（1.9）
式中k0为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。EF为费米能级。EF是一个非常重要物理参数，只要知道了EF值，一定温度下的电子分布就确定了。EF是什么？半导体物理上给出了定义：
（1.10）
EF是系统的化学势（μ），是处于热平衡状态的系统增加一个电子所引起系统自由能（F）的变化。图1.39为不同温度下的费米分布（EF=1.0eV）。在T=0K时，E<EF时，f（E）=1，
即E<EF的量子态全部被电子占据。E>EF时，f（E）=0，即E>EF的量子态全部被电子占据几率为0。在所有温度下，f（EF）均等于1/2，E<EF时，f（E）>1/2，E>EF时，f（E）<1/2。

图1.39不同温度下的费米分布（EF=1eV）

随着温度的增加，E>EF的量子态被电子占据几率增加，E<EF的量子态被电子占据几率减小。

为了更好地理解EF的物理意义，我们来观察EF的位置随掺杂浓度的变化，如图1.40。

图1.40不同类型半导体的EF位置

掺杂相当于“添加或拿走”电子，掺P型杂质相当于“拿走”电子，掺N型杂质相当于“添加”电子。P型杂质浓度越高，电子浓度越低，EF越低；N型杂质浓度越高，电子浓度越高，EF越高。因此可以把EF理解为电子填充能带的“水平”。电子填充能级的过程，如水箱注水，先低后高，EF就相当于水箱的“水面”。这个比喻虽然形象，但没考虑到热运动。由于热运动，电子并不是完全是由低到高，如图1.39所示电子几率随温度的变化。

因为f（E）为能量为E的量子态被电子占据的几率，所以1-f（E）为能量为E的量子态被空穴占据的几率，即
（1.11）

2. 玻尔兹曼分布

当
时，式（1.10）和（1.11）可表示为
（1.12）
（1.13）
这就是玻尔兹曼分布。为什么半导体中载流子当可近似为玻尔兹曼分布呢？ 在半导体中，EF常常出现在禁带内，与导带底和价带顶的距离远大于kT，故。这意味着，当EF出现在禁带内时，导带顶和价带底存在着很多空量子态，所以守规矩的电子和空穴也完全有房间大多住在导带地和价带顶，遵循着玻尔兹曼分布。称EF出现在禁带内的状态为非简并状态，EF进入导带或价带的状态为简并状态。图1.41为费米分布与玻尔兹曼分布的比较。实线为费米分布，虚线为玻尔兹曼分布。随着温度升高，误差增大，但在室温附近，吻合较好。

图1.41费米分布与玻尔兹曼分布的比较

1.3.3 半导体中的载流子浓度

因为f（E）为能量为E的量子态被电子占据的几率，如果能量E处的量子态密度为De（E）（单位体积所包含的量子态数）,则单位体积内，整个导带所包含的电子数（即电子浓度）为
(1.14)
对于非简并半导体，载流子遵循玻尔兹曼分布，将（1.12）带入（1.14）可得
（1.15）
式中，NC为导带有效态密度，可表示为
（1.16）
类似的方法可得非简并半导体的空穴浓度
（1.17）
式中，NV为价带有效态密度，可表示为
（1.18）
由（1.15）和（1.17）可得
（1.19）
在平衡状态下，只要满足玻尔兹曼分布条件，即EF在禁带中，且满足
则电子与空穴浓度的乘积与EF无关，与是否掺杂无关，只与材料和温度有关。如果EF在导带或价带中，则该（1.19）式不成立。图1.42为平衡状态下的电子与空穴浓度的乘积与费米能级位置的关系曲线。从图中可以看出，当EF处于禁带中时，电子与空穴的乘积为常数，一旦EF进入价带或导带，电子与空穴的乘积指数下降。

图1.42 np与EF位置的关系曲线

（1.15）和（1.17）两个关系式是满足玻尔兹曼近似的电子和空穴浓度的一般关系式，只要确定了EF，在一定温度下的电子和空穴浓度便可以计算。EF的确定还需要一个条件——电中性条件 。

1.3.4 本征半导体中的载流子浓度

所谓本征，即无掺杂，因此导带上的电子之来自于价带电子的跃迁，每跃迁一个电子，就产生一个空穴，因此有
再由
（1.20）
可得
（1.21）
Ei约在禁带中线附近1.5kT范围内。

非本征半导体的载流子浓度可以用本征载流子浓度表示，由（1.15）式可得
（1.22）
再将（1.20）式带入（1.22）式可得
（1.23）
类似可得
（1.24）
（1.23）和（1.24）两个公式常常用于半导体器件工作原理的分析中。

1.3.5 掺杂半导体中的载流子浓度

1. 杂质能级

杂质可分为深能级和浅能级两类。浅能级用来改变载流子浓度和导电类型，深能级用来改变载流子的寿命。在这一讲，我们来讲浅能级。浅能级杂质包括：施主杂质（不电离时，电中性；电离时，带正电。）和受主杂质（不电离时，电中性；电离时，带负电。），以Si为例说明。

Ⅴ族施主取代晶格中硅（Ⅳ族）的位置，其中四个价电子形成共价键后，还多余一个价电子。杂质本身为正电中心，正电中心可以束缚电子在其周围运动而形成一个量子态，类似于氢原子中带正电的质子吸引电子在其周围运动，但对电子的束缚弱很多，即电离能很小。

正因为Ⅴ族施主的电离能很小，所以在一般器件的工作温度下，施主上的电子几乎全部电离。下面以只有施主杂质的n型半导体为例进行定量分析：

首先来看杂质能级上的电子分布。杂质能级上的电子占据几率也遵守（1.9）式的费米分布函数吗？回答是否定的。因为杂质能级只能接受一个电子，而能带上的能级可容纳自旋方向相反的两个电子，所以电子占据施主能级的几率为
（1.25）
由此可得电离施主浓度：
（1.26）

3. n型半导体的载流子浓度

非简并n型半导体的态密度、费米分布和载流子分布如图1.43所示。

（a）态密度 （b）f（E） （c）载流子分布
图1.43 n型半导体载流子分布

掺有施主杂质的n型半导体平衡状态下的电子和空穴浓度依然遵守费米狄拉克分布，对于非简并半导体依然遵守玻尔兹曼分布，即（1.15）和（1.17）式依然成立：
从公式可知， 只要能确定费米能级，就能求出载流子浓度。 费米能级由电中性条件求出，即带负电的电子浓度等于带正电的施主离子浓度与带正电的空穴浓度的和：
（1.27）
将（1.15）和（1.26）带入（1.27），于是有下式成立
（1.28）
下面进行分区讨论：

（1）低温弱电离区

当温度很低时，依靠本征激发从价带跃迁到导带的电子数可忽略不计，只有少量的施主杂质发生电离，电离所产生的电子进入了导带，于是有下式成立
（1.29）
根据（1.29）式可确定费米能级
（1.30）
将（1.30）式带入（1.15）式，便可求得低温弱电离时的电子浓度表达式：
在低温弱电离区，电子浓度随温度指数增加。

（2）强电离区

当温度升高至大部分杂质都电离时称为强电离。与施主杂质浓度相比，本征激发所产生的电子浓度可忽略不计，于是有下式成立。
（1.31）
强电离区的电子浓度与温度无关，只与掺杂浓度有关，这是半导体器件能够稳定工作的关键。由（1.31）可得强电离区费米能级的位置：
费米能级的位置与掺杂浓度有关，掺杂浓度越高，越靠近导带。这与之前的定量分析一致。

（3）高温本征激发区

继续升高温度，当本征激发产生的本征载流子浓度远多于电离产生的载流子数，即
，于是杂质半导体进入本征激发区。图1.44为不同掺杂浓度半导体的费米能级随温度的变化曲线。

图1.44不同掺杂浓度时的费米能级随温度的变化关系

从图可知，掺杂浓度越高，进入本征区所需温度越高。图1.45为硅中掺P（
）的电子浓度随温度的变化关系曲线，反映了电子浓度在三个区域（低温弱电离区、强电离区和高温本征激发区）中随温度的变化关系。

图1.45 硅中掺P的电子浓度随温度的变化关系曲线

4. p型半导体的载流子浓度

对于掺有受主杂质的P型半导体可作类似的分析，得到如下公式：

（1）低温弱电离区：
（1.32）
（1.33）

（2）强电离区：
（1.34）
（1.35）

（3）高温本征区

继续升高温度，当本征激发产生的本征载流子浓度远多于电离产生的载流子数，即
，于是杂质半导体进入本征激发区。图1.44为不同掺杂浓度半导体的费米能级随温度的变化曲线。