神经网络中神经元的权重更新

神经网络中神经元的权重更新

神经网络的核心在于通过训练找到每个神经元的最优权重，从而实现准确的输出。本文将详细介绍神经网络训练中常用的权重更新方法——梯度下降，包括初始权重的分配、误差的反向传播以及权重优化的思路。

1. 回顾神经网络

首先，回顾一下神经网络模型主要包含哪些部分：

如上图所示，核心部分有：

• 神经元：图中黑色圆圈部分，接受输入，产生输出
• 层：神经元的集合，图中蓝色，绿色框，一个层一般包含一个或多个神经元

神经元对输入进行两步计算：

• 对各个输入按照权重求和
• 求和的结果再经过一个激活函数，得到一个输出值

神经网络的训练过程，就是给每个神经元找到一个合适的权重，使得神经网络最后的输出（(Output)）与目标值相差最小。

神经网络的结构不难，难点在于神经元和层多了之后，计算量暴增，需要强大的硬件支持。

2. 初始权重分配

下面回归本篇的主题，也就是神经网络中权重是如何更新和确定的。

我们知道，神经网络之所以如此流行，是因为基于它的模型，准确度远远好于传统的机器学习模型。而神经网络模型的好坏取决于每个神经元的权重是否合理。

先假设做一个简单的神经网络，看看神经网络模型如何从输入值计算出输出值的。

这个网络中，假设我们的激活函数用(y=\frac{1}{(1+e^x)})

那么，根据神经元的计算方法，先求和(x_1w_{1,1}+x_2w_{2,1})，再用激活函数得到：(y_1=\frac{1}{1+e^{(x_1w_{1,1}+x_2w_{2,1})}})

同理可得：(y_2=\frac{1}{1+e^{(x_1w_{1,2}+x_2w_{2,2})}})，(y_2=\frac{1}{1+e^{(x_1w_{1,3}+x_2w_{2,3})}})

最终可得输出：(z_1=\frac{1}{1+e^{(y_1 w^{'}{1,1}+y_2 w^{'}{2,1}+y_3 w^{'}_{3,1})}})

从上面的计算过程可以看出，(x_1,x_2)是输入值，无法改变；(y_1,y_2,y_3)和(z_1)是计算产生的，也无法改变。在神经网络中，我们能够调整优化的就是权重值(w_{1,1},...,w_{2,3})以及(w^{'}{1,1},...,w^{'}{3,1})。

理论上，初始化神经网络时，可以设置任意的权重，通过不断的训练最终得到合适的权重。但实际情况下，模型的训练并不是万能的，初始权重设置的不好，对于训练花费的时间和训练结果都会造成不利的影响。

比如，初始权重设置的太大，会导致应用在数据上的激活函数总是处于斜率非常平缓的位置（如下图虚线红框处），从而降低了神经网络学习到更好权重的能力。

此外，还有一个问题是不要设置零值的权重，这也会导致神经网络丧失学习更好权重的能力。

所以，设置初始权重时：

• 选择随机的，值比较小权重，常见的范围是 0.010.99 或 -1.01.0（不要选择0）
• 权重的分配最好与实际问题关联，比如实际问题中，知道某些输入值的重要性高，可以初始较大的权重

3. 误差的反向传播

训练神经网络，除了设置初始权重之外，另一个重要的部分就是计算误差。误差就是根据训练结果与实际结果的差距。

比如上图，训练结果是(o_1)，实际结果是(t_1)，误差就是(e=t_1-o_1)。根据这个误差(e)，来计算上一层中各个神经元计算后的误差。误差一般是根据神经元权重所占的比例来分配的。

比如，假设上图的神经网络中，最后一层的初始权重(w^{'}{1,1}=0.58, w^{'}{2,1}=0.21, w^{'}_{3,1}=0.36)，最后的误差为(e=2)。

那么，根据(w^{'}{1,1}, w^{'}{2,1}, w^{'}_{3,1})的权重在这一层所占的比例来更新这一层的误差：

(e_{y1}=e\times \frac{w^{'}{1,1}}{w^{'}{1,1}+w^{'}{2,1}+w^{'}{3,1}}=2\times \frac{0.58}{0.58+0.21+0.36}\approx 1.01)

同理可得：(e_{y2}\approx 0.37)，(e_{y3}\approx 0.63)。

然后再根据(e_{y1},e_{y2}, e_{y3})去更新上一层的误差。

这样，从后往前，就得到了每个神经元的计算所产生的误差。因为误差是从后往前计算的，所以也成为误差的反向传播。

4. 优化权重的思路

通过误差的反向传播计算出每个神经元的误差，目的就是基于这个误差来更新神经元的权重值。

• 当神经元的误差较大时，尝试减小神经元的权重值；
• 当神经元的误差较小时，尝试增加神经元的权重值。

这也就是梯度下降算法的思路。

那么权重每次更新多少合适呢？每次更新步长太小，将导致计算量过大，经过很长时间的迭代才能找到最优值，如下：

而且，更新步长太小，还会导致找到次优值之后，就以为已经找到最优值，如下：

不过，每次权重更新步长过大，也会有问题，有可能会错过最优值，在最优值附近来回横跳，如下：

所以，计算出误差之后，更新权重不是一次就能完成的。一般来说，会尝试用多种不同的步长来更新权重，看看哪种步长更新的权重会使得最后的误差最小。

5. 总结

总的来说，神经网络的训练，关键点主要有：
2. 确定初始权重
4. 误差反向传播
6. 尝试不同步长更新权重，尽量找出最优值（也就是使得最终误差最小的权重）

整个训练过程大致如下：上图中，结束训练的条件是误差<阈值，有的时候，可能会出现很长时间之后误差始终都大于阈值，无法结束训练。这时，可以加一个条件，误差<阈值或者迭代次数到达1000次（可以任意次数），就结束训练。