数字电子技术基础：约束项、任意项和无关项详解
数字电子技术基础：约束项、任意项和无关项详解
在数字电子技术中，约束项、任意项和无关项是逻辑函数化简中的重要概念。它们不仅影响着逻辑函数的表达方式，还关系到电路设计的优化。本文将通过具体实例，深入讲解这些概念及其在实际应用中的重要作用。
1 约束项、任意项和无关项
1.1 约束项
如何理解约束项？下面举一个实际的例子。例如，在一个水槽中有三个水位检测元件A、B、C，如果水位低于水位监测元件时，水位检查元件为低电平，水位高于检测元件时，此时为高电平。（本实例参考了阎石主编的《数字技术基础》（第六版）中的实例） 参考图如下所示：
和
表示的是
和
的启动控制信号，当水位低于A时，此时A=0、B=0、C=0。两个水泵
和
全部打开，即
=1、
=1；当水位高于A低于B时，此时A=1、B=0、C=0，大水泵
打开，小水泵
关闭，即
=1、
=0；当水位高于B低于C时，此时A=1、B=1、C=0，大水泵
关闭，小水泵
打开，即
=0、
=1，当水位高于C时，此时A=1、B=1、C=1，两个水泵
和
全部关闭。
可以看到，此时只有四种情况。列出真值表得：
表1 A、B和C水位监测元件的真值表
A B C
0 0 0 1 1
1 0 0 1 0
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
逻辑函数式为：
由于不可能出现高于C而低于A或者B的情况，因此ABC的值不可能为001、010、011、101四种情况。因此A、B、C是一组具有约束的逻辑变量，
和
是一个约束函数。最小项之和中每一组输入变量的取值都使一个、而且仅有一个最小项的值为1，这些限制不能出现的变量可以写为：
这些恒为0的项为逻辑函数的约束项。
再例如，如果用四位二进制来表示十进制数的时候，那么10-15就需要对于输入有限制，1010-1111就是约束项。
1.2 任意项
在逻辑函数中，无关项是指那些对函数输出没有决定性影响的项。这些项对应的变量取值组合在实际电路或系统设计中可能不会出现，或者即使出现也不会影响整体的逻辑功能。
例如，在对于某个逻辑函数Y的真值表如下所示：
表2 某个逻辑函数的真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 x
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 ×
1 1 1 1
在上面的表中，当A=0、B=1、C=1中，输出的可以是0或者1（用“×”表示），当A=1、B=1、C=0是，输出的也可以是0或者1。在化简逻辑中，函数值为1和0不影响电路的功能，则向A'BC和ABC'这些项称为任意项。
1.3 对于约束项和任意项的总结以及无关项的定义
- 约束项：逻辑函数中对于输入项有限制，这些限制对于最小项的要求称为最小项。
- 任意项：在任意情况下，函数值为1和0不影响电路的功能，与这些取值对应的称为任意项。
- 无关项：约束项和任意项统称为无关项，可以写入逻辑式，也可以不写入逻辑式。
无关项、约束项和任意项的关系如下所示：
在逻辑表达式中，无关项通常用字母“d”表示。在真值表或卡诺图中，无关项可以用“×”号或“Φ”表示。
1.4 无关项在化简逻辑式中的应用
化简逻辑式子中，合理利用无关项可以化得到更简单的式子。
例如化简下面这个逻辑函数
给定约束条件为：
画出卡诺图得：
圈出可以合并的最小项的组合为：
上图中两个蓝色圈表示一个整体，可以看到约束项作为一种可有可无的项，可以被我们划入到合并最小项之中。最终得到化简结果为：Y=A'D+B'D。
再例如对于逻辑函数
给定约束条件为：
画出卡诺图得：
圈出合并的最小项得：
最终得到的化简为：Y=A'+BC。
再例如对于逻辑函数
画出相关函数Y的卡诺图得：
圈出可以合并的最小项得：
最终得到结果如下所示：Y=A‘D+AC'D'。