高中数学解析几何绝活一：极点极线的推导和应用
高中数学解析几何绝活一：极点极线的推导和应用
极点极线是解析几何中的一个重要概念，它在处理与二次曲线相关的定点定直线问题时具有独特的优势。本文将从调和分割和定比点差法出发，逐步推导极点极线的定义、性质，并通过具体例题展示其应用。
预备知识：
一：调和分割
如图：
,即称PQ调和分割PB，PAQB称为一个调和点列。
二：定比点差法
如图，直线l交椭圆于AB两点，P为直线上椭圆外一点，若
则有：
由A、B在椭圆上，有：
二式相减并带入
式，得到：
极点极线：
1.极点极线的几何定义：
过点P的直线
交二次曲线Ω（圆、椭圆、双曲线、抛物线）于A、B两点，若
上存在一点Q，使得
,则称点Q为P关于Ω的调和共轭点。当
开始旋转，Q的轨迹将形成一条直线
,则称
为P关于Ω的极线，相应地，称P为
关于Ω的极点。
注1：
极点极线一一对应地成对存在。确定的点P必然对应唯一的极线L，确定的极线L必然对应唯一的极点P。
极点是平面内的任意一点，可在二次曲线外，也可在二次曲线上。
2.极点极线的代数推导：
极点极线的一一对应性质，告诉我们知道了平面内一点的坐标，必然可以求出此点关于二次曲线的极线方程，反之亦然。那么，这一一对应的性质是怎么来的？具体该怎么求极点极线？带着这两个问题，我们来研究极点极线的数学推导。
由预备知识，我们只需对
和
用两次定比点差方法即可。
过程中注意负号，具体过程如下：
①
②
由A、B在椭圆上，有：
二式相减并带入
式，得到：
③
联立②③得
由此我们得到：如果我们已知P坐标
，则Q点的轨迹是一条方程为
的直线
，由极点极线的几何定义，易知
即为所求的P关于Ω的极线。
以上是以椭圆为例的推导，接下来给出一般二次曲线的极点极线公式推导：
已知二次曲线Ω：
①
②
③
④
联立①②③④得式
**综上所述，对于已知点P
,已知二次曲线Ω
，点P关于Ω所对的极线
方程为
**
注2：
若极点在二次曲线上，则其对应极线为过该极点的二次曲线的切线。
3.极点极线的性质：
极点极线具有很多良好的性质，事实上很多看起来“巧合”的定点定直线题目，背后都蕴含着极点极线的规律。
需要注意的是，由于极点极线规律往往不能直接使用，极点极线的思想对于高考生来说其实是“蒙”答案、开辟思路的方法，而非生搬硬套的“公式”。也正因此，关于极点极线的性质，高考生实则无须学会它们的推导和记忆，有个大概印象，在见到看似是极点极线思想的题目的时候能“蒙”出思路或是答案即可。
极点极线的性质1：
有二次曲线Ω，任意一点P，在点P关于Ω所对应的极线
上任取一点Q，则Q关于Ω所对应的极线
必经过P。
该性质可由极点极线的代数推导轻易导出。
极点极线的性质2：
有二次曲线Ω，任意直线
,在
上任取一点P，过P作Ω两条切线交Ω于A、B，则A、B恒过
所对的极点Q。
简单推导如下：
由注2和性质1，在A所对应的极线PA上取一点P，则P所对应的极线必过A，同理P所对应的极线必过B，故AB即为P所对应的极线，在P所对应的极线上任取一点Q，则Q所对应极线必经过P。
如上，由于笔者不打算引入调和点束等知识，且极点极线其它的性质解释过于复杂，故仅抛出两例。
4.极点极线思想的几道例题：
例①：
已知椭圆
，过M（0,2）的直线L与椭圆交于P、Q两点，N在线段PQ上，若有
，求
的取值范围。
分析：
将题干原式变化得
,可知N为M的调和共轭点，故N的轨迹为M的极线
即为y=1,如图当L自与y轴重合旋转至与椭圆相切的过程中，PM增大，PN减小且趋于0，则
在L与y轴重合时取到最小值，趋于无穷大，经计算
。尽管不可直接使用结论，极点极线的思想也帮助你完成了思路的打开和答案的计算。
例②
已知椭圆:
,L:
,P为L上任意一点，过P引椭圆的切线PA、PB，若OD
AB，D为垂足，求证存在点Q，使得DQ为定值，并求该定值。
分析：
由性质2我们知道AB过定点R，有L方程知R的坐标为（2,3）,由OD
AB,知D在以OR为直径的圆上，则OR的中点即为Q，且DQ=
结语：
极点极线的思想能够帮助解决解析几何中一些常见模型，学会极点极线思想不是背诵好结论，而是形成一种直觉，当题目给定了定点时，迅速考虑其极线在题中是否有用，给定定直线则亦然。
本文例题皆以椭圆为例，其它二次曲线的例题请读者自行研究。
本文尚未给出的较为复杂的极点极线的性质和各色例题，可移步至此进一步研究： 极点极线10个性质以及在近几年全国卷中的应用 (qq.com)