综合除法与有理根定理(初级版)

综合除法与有理根定理(初级版)

本文将介绍综合除法和有理根定理两个重要知识点。综合除法适用于多项式与一次式进行多项式除法的求解，而有理根定理则阐述了整系数多项式方程中有理根的性质。通过这两个知识点的学习，读者可以更好地理解数学知识。

引子

在前一篇文章中，我们介绍了多项式的带余除法，用于将一个高次多项式f(x)与一个次数不超过f(x)次数的g(x)，分解为f(x)=q(x)g(x)+r(x)的表示形式（其中余式r(x)次数<除式g(x)次数），不熟悉的网友可以先回顾链接里的文章。

特别地，若r(x)=0，则有f(x)=q(x)g(x)，这意味着f(x)可以被因式分解。

例如前篇文章举的这个例子：

进而得到

可见即便对于这种一次因式，采用带余除法仍会占用不小的草稿纸空间。那么问题来了，有没有更加简化的记号呢？有的，这就是接下来要介绍的综合除法。

综合除法的原理简析（待定系数）

设被除式为：

除式为：

ps:需要注意的是g(x)的形式已经固定好了，一次项系数为1，常数项是-a。简化记号的代价就是多了一些形式的限制

设

由于余式r(x)的次数需低于除式q(x)的次数，因此r(x)只能为常数。于是q(x)g(x)的次数就等于f(x)的次数。而g(x)次数为1，因此商式q(x)的次数为n-1

于是待定系数：

由于g(x)=x-a只有两项，因此考虑展开并合并同类项：

最后一式与f(x)系数对比得：

我们的目的是求出所有有关b的未知数以及常数c0，因此移项得：

以上这个用浅绿色标记的递推式是该法的核心，后文的记号正是求解这一方程组

其中有关a的字母是已知的（即被除式f(x)的各项系数），

于是由第一个式子可求得b(n-1)

再将b(n-1)代入下式求得b(n-2)

再将b(n-2)代入下式求得b(n-3)

以此类推，将解出的未知数代入下一个方程即可自上而下有序地解出所有待定系数

综合除法的操作：

为了方便地描述或展示这一求解过程，便有了综合除法的书写记号：

如图所示，将a写在最左边，然后画一条竖分隔线。接着将被除式f(x)的系数按降幂排列（缺项的必须补0）再空出一行后画一条横分隔线。（预留出一行是为了进行接下来的操作）

最高次项直接落下来(即方程组中的a(n)=b(n-1))

接着用得到的b(n-1)乘以a，写在a(n-1)下面(+a*b(n-1))，然后与a(n-1)相加得b(n-2)

ps:红笔标记的箭头不用画，那只是为了展示书写顺序的

拿b(n-2)乘以a写到a(n-2)下面，再与a(n-2)相加得b(n-3)，以此类推，重复该步骤不断向右推进直到最后的a0也参与了运算

完成操作后，横线下方最右端的元素c0即余式，其余的部分便是商式的系数按降幂排列的结果

体会一下这个推进的过程，内核实际上还是求解前文推导出来的这个待定系数方程组：

因此综合除法这一操作依旧是包裹这一内核的皮囊罢了

有了综合除法的记号，下面我们再次来求解x³-2x+1与x-1的多项式除法

这里缺平方项，因此系数需要补0。最高次项直接掉下来

将得到的1乘以左边的1得1写后一列横线上方，再纵向相加得1写横线下方

再将得到的1与左边的1相乘得1写后一列横线上方，再纵向相加得-1写横线下方

ps:注意我指明的是哪一个1，我的叙述是严格按照前面的计算流程的，这个例子有元素重复请多理清思路以免产生混淆

再将得到的-1与左边的1相乘得-1写后一列横线上方，再纵向相加得0写横线下方

完成了操作后，横线下方最后一项即余式(此处为0)，其余的各项即商式系数降幂排列的结果，即得商式

，进而得：

与前面的带余除法对比，可见采用综合除法形式更加简便，因此对于单因式的分解采用综合除法更为方便。

注意事项

(1)综合除法只适用于f(x)与一个一次因式的多项式除法，且这个一次因式是x-a的形式，即一次项系数必须为1，常数项必须为-a（不是该形式要化为该形式才能使用）

(2)综合除法在第一步抄写系数时，缺项则系数要补0。

有理根定理(初级版)

接下来就是我们无比期待的试根法——有理根定理啦！在这一篇文章中，我们先采用较为简短的证法，更深层次的证法留到后一篇文章再谈！

有理根定理：若

(既约分数)为整系数一元n次方程

的根，则必有：

意思就是若一个有理数是整系数方程的根，则这个有理根的分母一定整除最高次项系数，且分子一定整除常数项。

在此之前先简单提及一下整除的定义：

设a,b是两个整数，若存在一个整数d，使得b=ad，则称a整除b(或b被a整除)

需要注意的是：整除是用乘法来定义的

回到定理的证明：

将x=p/q代入方程得：

方程两边同乘q^n得：

观察发现，除了第一项外，其余项都含有因子q。除了最后一项外，其余项都含有因子p。于是我们分别对这两个重大发现进行处理：

(1)将方程左端除第一项外的其余项移到右边得：

由于方程系数均为整数，于是上述方程中标蓝的部分为整数

从而有：

(即q能整除

)

又由于

ps:因为p/q是既约分数，因此分子分母互素(互质)。这里的gcd是最大公因数的意思

所以

也即由p与q互素，则p的任意整数次方与q的任意整数次方也互素。这个结论是平凡的，由互素的定义即可证明

从而只能有

接下来再证明结论的另一半

(2)将方程左端除最后一项外的其余项移到右边得：

由于方程系数均为整数，于是上述方程中标红的部分为整数

从而有：

(即q能整除

)

又由于

，所以

从而只能有

至此，便完成了有理根定理的证明！

有理根定理表明，对整系数多项式方程而言，一个有理数是该方程的根的必要条件为：

且

注意是必要条件，也就是说不满足该条件的一定不是有理根，满足该条件的才可能是有理根。

有了这一必要条件，我们对高次方程的试根就有了很明确的目标了：找到最高次项系数an和常数项a0的所有因子，并考虑其作商后的所有组合！

并且，为了方便后续计算，我们要将整系数多项式化为本原多项式

所谓“本原多项式”，就是系数互素的整系数多项式，写成数学语言就是

满足

ps:这里计算最大公因数时遇到出现负数的时候可以先不管前面的负号，毕竟两个最大公因数至多相差一个符号

这样处理的目的是先把an和a0化得尽可能小，这样便于后续分解因数。

例题练习：

例(1)：解方程

这时系数出现分数可咋办？简单，只需要两边同乘各项系数分母的最小公倍数就可以化为整系数啦~

两边同乘5得：

此时化为了整系数多项式，再化为本原多项式（即化为系数互素）

注意到3,3,15,9有公因数3，于是两边同除3得：

ps:对比后续这一步处理，最高次项系数由3降为1，常数项由9降为3，很明显后者比前者更便于分解因数，这就是在使用有理根定理前化为本原多项式的好处。

前面两步的作用归结为化简系数。

这时系数不再有公因数，于是考虑使用有理根定理：

同样，在分解因数的时候，可以先不管负号，负号最后在x的候选处再添上去

对最高次项系数和常数项作素因数分解：

于是q的可能取值为1；p的可能取值为1,3

于是x的可能值为：

也即若方程有有理根，则只可能是±1,±3

这意味着，我们采用“试根法”时，只需要试这4个根就行了，有了这一理论支撑，试根就不再像无头苍蝇似的盲目穷举啦！

接下来进行验根，可以考虑把值带进多项式里看是否为0，这是以前的做法。但别忘了，前文铺垫了的综合除法可以派上用场了哦！

为什么要采用综合除法？这是因为作综合除法，如果试根试对了，那么顺带地还可以完成因式分解(即此时r(x)=0,q(x)为f(x)的一个因式)试错的话那就保留原系数继续试其他的，总之用综合除法多一项功劳

试x=1：

计算得余数为0，因此x=1是方程的一根，顺带完成了因式分解：

接下来就好办了，由于这是一个三次方程，分离出一个一次式后剩余的二次方程这我熟啊，直接求根好了！对于三次方程这着实是最优路径，但考虑到要体现该方法的一般性，还是采用一般的流程进行，各位请注重体会一般的流程的思路

接下来继续试x=1

在得到的余式前画一条分隔线（这是因为余式不再参与后续的计算）对得到的商式再视为新的被除式，作综合除法，发现余式依旧是零！

这意味着什么？意味着x=1是重根呀！此时你就明白为什么要继续检验x=1了，这是因为采用带余除法只是逐个的一次项式分解，考虑到可能有重根的情况，需要继续检验x=1直到余式不为0为止。余式不为0则需要返回到前一步的商式，再对该商式作其他根的综合除法

完成了第二步，原方程进一步分解为：

于是就得到了原方程的3个根：

例(2)：解方程

注意到系数没有公因数，因此已经是本原多项式了，下面使用有理根定理+综合除法进行试根：

于是q的可能取值为1；p的可能取值为1,2,3,4,6,12

进而x的可能值为：

也即若方程有有理根，则只可能是上面这几个

试x=1：

余式为0，因此x=1是一个根，顺带因式分解：

接着把商式当作新的被除式继续检验x=1：

发现余式不为0了，这说明x=1不再是新的被除式

的根，换而言之x=1是原方程的单根。这时就需要退回到前一次的结果：

如图，把前一次得到的商式重新拎出来，视为新的被除式，去检验其他的根

试x=-1：

发现余数不为0，那么又继续退回到前一次的商式，检验其他的根。

剩下的步骤是类似的了，都是遵循：

若试根成功，则因式分解并将商式作为新的被除式继续试同一个根（检验重数）；

若试根失败，则回到前一次的商式，检验其他的根。

检验x=2：

第一次检验发现x=2是根，于是将得到的商式继续检验x=2，发现还是根。（对应的因式分解如右边红字所示）

这时发现原方程已经分解充分了，于是操作完成~

最终，我们将原方程左边顺次分解成了如下形式：

于是方程的4个根为：

综合除法的操作需要反复琢磨并练习，相信有了有理根定理的理论指导，让解高次方程摆脱涣散的注意力，让试根更具目标感！

总结

本篇文章介绍了两个重要知识：综合除法和有理根定理。

综合除法适合于多项式与一个一次式作多项式除法的求解。应用到求解方程上也即适合于方程的试根+因式分解。

注意事项：

列举系数时遇到缺项要将系数补0。

作除式的一次因式必须化为x-a的形式才可使用该法。

有理根定理阐述了整系数多项式方程中有理根的性质：若方程有有理根(既约形式)，则必有：

分母整除最高次项系数，且分子整除最低次项系数。

这个性质也是"一个有理数是该方程的根"的必要条件。利用这一必要条件建立试根的范围。

试根的具体步骤总结如下：

(1)化简系数：将有理系数多项式化为本原多项式

(1.1)方程两边乘以所有系数分母的最小公倍数，将系数化为整数

(1.2)方程两边除以所有整系数的最大公因数，将系数化为互素

讨论最大公因数和最小公倍数时可以不管负号只考虑正整数部分

(2)分别对最高次项系数和常数项作素因数分解，从而确定要试根的有理数候选

作素因数分解时也只需考虑正数部分，组合有理数时也先忽略负号，最终再在得到的正有理数中给每个有理数前加上正负号，也就得到了所有要试的根

(3)利用带余除法进行试根

(3.1)若f(x)除x-a余式为0，则作因式分解，将得到的商式作为新的被除式继续除x-a检验重数

(3.2)若f(x)除x-a余式不为0，则退回前一步的商式，将该商式作为新的被除式去除(x-b)检验其他的根

这样一来理论上便可以拿捏所有有理系数多项式的有理根啦！

而仔细的小伙伴可能发现一个问题：如果常数项的因数较多，那么试根的候选也会跟着变多，像前面的一题，试根的候选有12个，甚至都超过多项式的次数了，运气差点我需要试12次才能完成呢！

没错，这的确是本篇文章没有讲完的点。回顾标题，我说这是有理根的初级版，给出了有理根试根的理论，但这只是最原始的版本。实际上，不少的有理根候选是可以被快速排除的，这是初级版没给出的方法。那么如何优化试根策略呢？请听下回分解！

下一篇文章中，咋们要请出伟大的高斯来帮忙解决这一困惑，敬请期待！