中考数学最值-胡不归问题(解析+例题)

中考数学最值-胡不归问题(解析+例题)

中考数学中的最值问题一直是考生们关注的重点，其中"胡不归问题"更是以其独特的解题思路和广泛的应用场景而备受瞩目。本文将从一个古老的历史典故出发，深入探讨这一问题的数学本质，并通过多个具体案例，帮助读者掌握其解题技巧。

文档简介

中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）

历史典故

从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不不归？…”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

知识储备

1. 三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
2. 两点之间线段最短。
3. 连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

模型分析

1. 条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。
2. 问题：P在何处时，BP+nmAP最短（nm＜
3. 方法：

• 第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm
• 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。

问题提出

如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短?

特例分析

若n=2,则时间t=ADa+CD2a,当a为定值时,问题转化为：在BC上确定一点D,使得ADa+CD2a的值最小。

如图②,过点C做射线CM，使得∠(1)过点D作DE⊥CM,垂足为E,试说明：DE=CD2；
(2)请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′.

经典例题

如图③,抛物线y=－34x2＋94x＋3与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF.一动点P从E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒53个单位的速度运动到C后停止。

若点P

巩固训练

练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM＋12BM的最小值为_____

练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒。

练习3：如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60∘,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+32PD的最小值等于___

练习4：如图,△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是(A.
25B.
45C.
53D.
10

练习5：如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为___。

练习6：如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A，B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=43，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是___s

练习7：如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当12CD+OD的最小值为

练习8：如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，0),B(0，−3)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
(3)若P为y轴上的一个动点,连接PD,求12PB+PD

练习9：如图，抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。
（1）抛物线的函数关系式为，tan∠BAC=。
（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由。
（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

练习10：如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D。
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式。
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
（3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值。

练习11：已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P