凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用
凸函数是数学分析中极为重要的函数之一，在最优化理论、运筹学等多个领域都有广泛应用。本文从凸函数的多种定义出发，系统介绍了凸函数的性质与判定方法，并详细探讨了其在不等式证明、极值问题以及经济学中的应用。
系统简介
凸函数的性质在许多数学问题的研究和实际应用里具有极为重要的意义。但是对于大多数非数学专业的大学生来说凸函数只是一个简单平常的数学理论，并未对凸函数有太多的深入了解，更缺乏对凸函数应用的解读和分析。论文从凸函数的多种定义开始，引出凸函数的性质。也希望借写论文一方面可以强化概念，揭示凸函数的本质，并且可以充分掌握概念与应用的关系，更加深刻地理解凸函数的应用，以解决问题本质达到处理问题的目的。也希望可以激发大家的逻辑思维，来拓展对解决问题的技能和手段。
关键词 凸函数，定义，性质，应用，琴生不等式，赫尔德不等式。
引 言
凸函数理论的建立起自于21本世纪初，凸函数这个现在为众人所知的理论在很多有关于数学类学科中运用极为丰富。相比于函数论，数学分析，最优化理论等学科里运用都很频繁。其中凸函数是数学分析中极为重要的函数之一，还有凸函数在最优化的运用，在运筹学中的运用，很多其他的数学等理科科目中也大量运用这凸函数的知识。但是凸函数在高等教育数学中往往极少具有直接的相对运用，从而使得凸函数的研究在大学中并不常见，这往往是凸函数应用不多的原因。在本论文中会结合凸函数的性质和判定理论指出凸函数的应用，来明确出凸函数的应用优势。
1 凸函数的定义
定义1：在[a,b]上有定义.
任意的 有，
则称为凸函数.
定义2：在[a,b]上有定义.任意的及有：
，则称为凸函数.
定义3：在[a,b]上有定义.任意的 且 ，有
，
则称为凸函数.
定义4：在[a,b]上有定义.任意的 且 ，有
，
则称为凸函数.
定义5：在[a,b]上连续，在（a,0）上可导，任意的有
，则称为凸函数.
定义6：在[a,b]上连续，并且在区间（a,b）上是可导的函数，同时在区间上单调递增，则称 为凸函数.
定义7：在[a,b]上连续，并且在区间（a,b）上是可二次求导的函数，并且总存在，则称 为凸函数.
2 凸函数的判定
1.假设函数与此同时在区间[a,b]内是可导的，则可以称在区间[a,b]内是递增函数为是凸函数的充要条件.
2.假设函数与此同时在区间[a,b]上存可以在二阶求导，则是为函数是凸函数的充要条件.
3.假设函数并且在区间[a,b]内可导，且有使得
①
则称为①函数是凸函数的充要条件.
4.假设函数并且在[a,b]内可导，若存在②
则称为②函数是凸函数的充要条件.
5.假设对并且，，则称
为函数是凸函数的充要条件.
3 凸函数的性质
3.1运算性质-凸函数
1.（相加）如果函数和函数都是凸函数并且区间为[a,b]，则也是凸函数，区间为[a,b].
推论：假设函数,都是凸函数并且区间为，是非负实数,则也为都是凸函数并且区间为.
2.（倍乘）如果函数是凸函数并且区间为[a,b]，,则也是凸函数并且区间为[a,b].
3.（相乘）如果函数和函数都是凸函数并且区间为[a,b]同时为非负单调递增凸函数，且，则也是凸函数并且区间为[a,b].
4.（复合）如果函数总为单调递增的凸函数，也是一个凸函数，那么函数为凸函数.
5.（最值）设函数在区间为凸函数，则在区间也为凸函数.
6.（高阶导）设函数在区间为非负凸函数，则在区间上也为凸函数.
7.（反函数）设在区间为严格减少的凸函数，则反函数也为凸函数.
证明
1.（相加性质）当我们需要去证明凸函数的相加性质时，知道函数,在区间为凸函数，则可以根据定义写出它有关运算的公式，函数+的和就是两个运算公式的和，在区间上也是成立的.
证明：若并且，又因为函数和函数都是区间[a,b]上的凸函数，所以
① ②
因此，①+②得
由凸函数定义知 也是凸函数，区间为[a,b].
推论：
证：, , 因函数,在区间为凸函数，
从而
且
又因为为非负实数，所以有
=+
- 因此在区间也为凸函数.
2.（倍乘）因为函数是区间[a,b]上的凸函数，则和，存在 ＊
＊ 式两端同时乘以，则得到
由凸函数定义知 也是凸函数，区间为[a,b].
3.（相乘）分析：利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明在区间也为凸函数.
证明：因为且，，又因为函数和函数都是区间[a,b]上的单调递增凸函数，所以，即
＊
因为函数和函数都是区间[a,b]上的凸函数，
则，①
.②
从而得，①*②，得到
由＊式知
由凸函数定义知 也是凸函数，区间为[a,b].
注：①，非负
例：假设 ，且函数和函数都是凸函数，，所以当时可知不是一个凸函数，因为为负数.
②，单调递增
例：假设，且函数和函数都是凸函数，，
以当时可知不是凸函数，因为是单调递减的函数.
4.（复合）分析：因为函数是单调递增的凸函数，是凸函数，由凸函数定义得
，，，因此得到，
即，所以是凸函数.
5.（最值）分析：利用凸函数的定义可以证明在区间也为凸函数.
证明： , 因函数,在区间为凸函数，从而
且
令=,则
因此 在区间也为凸函数.
6.（高阶导）分析：利用不等式的性质和函数的连续可以证明在区间上也为凸函数.
证明： ，因函数为非负凸函数，可知在连续，且
0
从而在区间连续，
因,有
，
因此
[]
可知在区间上也为凸函数.
7.（反函数）分析:根据凸函数的一些已证性质，利用函数在区间上的单调性可以证明反函数也为凸函数.
证明：因在区间上严格减少，从而存在反函数，设
A=，., 则，使
即
则为凸函数，从而
因为严格减少.因此，
即
因此，由定义知在A=也为凸函数.
3.2积分性质-凸函数
1.设是上的凸函数,则为上的凸函数.
2.设函数在上递增,则函数为凸函数.
积分性质-证明
1.分析：利用凸函数的定义和求导的公式为上的凸函数.
证明：为凸函数区间是,因此它在区间内连续,在区间上有界.由此知有意义. ,令 时
，恒有
=
（因的凸性）
所以是上的凸函数.
2.分析：利用函数的不等式的性质（增减性）可以证明函数为凸函数.
证明： 因 递增,积分有意义.且.
故为凸函数.
4 凸函数的应用
在许多数学问题的证明过程中，我们经常遇到一些有关于不等式的证明，所以我们可以学会着去运用凸函数来证明，因为凸函数的性质和判定方法可以很大程度化简化证明.通过例举出的例子可以得出，运用凸函数的性质证明来证明与之相关的不等式，则可让一些难度比较大的和不容易证明的不等式得以求证出结果.所以要学会用凸函数来解决一些不等式的问题，这样才能让发挥数学这门学科的优势，和凸函数的存在意义，更能方便我们的学习和生活.
4.1凸函数在不等式的应用
4.1.1凸函数的性质证明初等不等式
（例）证明：当且时，有.
思路：将不等式变形，即两边同时乘以，得新式
，因此我们可以构造辅助函数，
则可证出.
证：设
在区间是凸函数
对 且 ，得
所以得
即
1.凸函数的性质证明函数不等式
（例）证明：对任何非负实数有
证：设，
，，
则在上是凸函数，由凸函数性质知，对任何的非负实数有
，既
所以.
2.凸函数的性质证明积分不等式
（例）证明：在上可积且，是在上的连续凸函数，则
证：设
由于是凸函数，故有①
由定积分的定义知在①中令时
使得.
4.1.2（Jensen）不等式
琴生不等式是一个十分重要凸函数的性质，因为每一个凸函数都可以满足琴声不等式性质，于是琴生不等式是重要方法对于研究不等式来说.
定理：假设函数是区间上的凸函数，则存在并且，总有.
（例）若
求证：
证：因为对所有的，可以令，所以有
又因为是凸函数
所以有
.
注：①当时，
则存在.
②当时，
有.
4.1.3（Holder）不等式
赫尔德不等式是数学分析的重要内容，不等式的命名来自奥图.赫尔德.This inequality clearly shows the relationship between LP spaces. There are many Hölder’s inequality, and of course there are also proofs of convex functions.
定理：假设，则存在
其中，并且.
（例）证明存在n个正数，这些数倒数的算术平均值大于或等于这些数的算术平均值的倒数.
证：假设函数，因此
所以在上是凸函数，在Jensen不等式中取
则得到
既.
4.2凸函数在极值的应用
根据常识的数学知识我们可以得知，一个连续函数如果是有界的，那么在这个区间内一定有max和min.但是对于函数来说max和min可能是在区间上的随机处.又因为对于凸函数，它的max(min)具有一些特征性质。由于凸函数可以求最值问题，因此凸性质解决最值问题有可行的办法和有效的方式.
1 .设是一非空有界闭凸集，是凸函数.
（1）若是在上的局部极小值，则是在上的最小值 ；
（2）若是严格凸函数，则它在上的最小值点是唯一的.
证明：（1）若是的一个局部极小值点，则存在的一个邻域，对于，有
.
从而有
又由是凸函数，故有
移项即可得，，故在上取最小值；
（2）假设在上的两点,取到最小值，即
.
因是凸集，故对于.
又由是严格凸的，则有
这与在上取最小值矛盾.
2. 有界闭凸集上的凸函数必在的边界上取到最大值.
证明： 设
，
若则定理得证；否则，的内点，过任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，该“直线”必与边界交于两点，设为,于是存在正数.
由假设知
故
若，则
即
从而有，这与点为最大值点矛盾，故
.
同理
.
3.设 为有界凸多面体，为的顶点，为上的凸函数，则的最大值必在的顶点上取到，即
证明： 由2知，存在, 使
设在的某一侧面上，则的顶点是的顶点中的一部分.若是的顶点，则结论已成立；若不是的顶点，设，…，是的顶点，则存在
且
由的凸性知，
由此可知
注： 若是凹函数，则在凸多面体上的最小值必在该多面体的顶点得到.
推论： 若是有界凸多面体上的线性函数，则的max，min都在该多面体的顶点上取到.
4.3凸函数在经济中的应用
4.3.1凸函数在生产函数中的应用
在经济学中定义为：在工程技术知识水平一定的情况下，给特定投入从而能够得到的最大的产出.一般来说，生产函数刻画出的就是在社会现有技术水平下，所能达到的最大需求产出和应该投入生产资料之间的比例关系.
生产函数常常可分为两种，第一种是可变投入生产函数第二种是多种可变投入生产函数.通常来说第一种用于思考短时期的产出，第二种用于思考时间较长的产出.生产函数Q 可展现成：
表达式中变量L为产能，K为付出的工作，N为本钱，E为土地和企业家.通常情况下，我们将生产函数简化为：
实际经济在增长过程中会出现两种生产函数，这两种生产函数分别是凸函数和凹函数但是我们在这里需要研究的是前者的函数模型.设总产量为Q,即，在函数中平均产量为AP，边际产量（若在生产中别的投入保持不变，因为每当新增1单位的投入而多生产出来的产量或产出）为MP，假设Q = f (L,K)是连续的.那么就有
,
在某一区间上当生产函数是凸函数时，那么依据定理可知在这个区间上其二阶微分 ，也可以说是边际产量的微分.由文章前的定义知可导的凸函数它的导函数是单调递增的，因此当生产函数为凸函数时，我们可以得出边际产量是递增的换而言之社会总产量的增长率是递增的.此时经济是处于增长的状态.
于是乎这时我们可以得到一些结论：在社会存在的一定已技术水平条件中，当生产的产量呈现出凸函数模型的时候，我们可以知道这是经济是处在一个上升的阶段，为了有利于经济的发展和社会的进步，应该加大生产投入，因为加大投入可以获取更大的产量和物质收入.
4.3.2 凸函数在消费者效用最大化问题中的应用
注：西方经济学认为，产品价值的多少，是由产品的效用大小决定.效用就是指消费者在消费物品或劳动获得的满足，并且这种满足程度纯粹是一种消费主义观心里感觉.由于消费物品或者劳务所获得的满足是一种主观的心里感觉，因此产品效果的大小因人而异，因地而异，因时而异.
一些西方经济学家认为，效用的大小可以设想用数字表示并加以计算和比较，这就是基数效用论的由来.例如，消费者消费了 n 个商品，那么从第一个商品到第n个商品的效用可分别用U1,U2,…,Un 来表示,它也被称为消费组合.U0令表示n个商品总满意度，那么效用函数就可以表示为U0=U1+U2+…+Un.
如此我们可以将较为抽象的商品效用用具体的值来表示出，同样的可知有了具体的值来表示效用时，我们可以对效用的值赋予大小.对于那些带给我较高满意度的商品组合我们通常会赋予一个大的值，相比于带给我们体验较差的商品组合，我们会给它一个小的效用值.但是由于在商品的使用过程中商品带给大家的满意度是因人而异，因地而异，因时而异，所以在实际生活中，效用函数一般用来表示消费者对商品满意程度的顺序，并非用特定值比大小.
通常情况下现有经济水平是消费者在实现效用最大化时的重要原因.这里令Q是消费者经济水平的一组集合，它代表的是消费者可以买到商品的消费组合在一定的收入和商品价格的条件下对于消费者来说.令表示消费者的收入，
为商品价格的集合，那么Q就为：
因此可以得出结论消费者效用最大化是对Q的一种变换求法，不同的消费组合，效用不同，所以好的组合这样可使效用函数最大.也就是求：
定理：Q=必是凸集.
证：设
对任意的
所以，由定义可知Q为凸集.
结 论
凸函数是解决许多数学问题的有力工具，在学习凸函数的过程中，应该注重对凸函数性质的理解和突出运用性质去解决实际问题和题目.在其他的方面也可以运用凸函数来解决问题，让凸函数的运用更加广泛和丰富.