【控制理论】深入理解鲁棒控制 | 滑模控制原理与应用实例解析
【控制理论】深入理解鲁棒控制 | 滑模控制原理与应用实例解析
导读：本文深入探讨了鲁棒控制中的滑模控制原理与应用实例。从鲁棒控制的定义出发，逐步深入到滑模控制的数学证明和实例解析，内容详实且具有较高的专业性。文章结构清晰，从基础概念到具体应用，层层递进，适合对控制理论感兴趣的读者深入学习。
一、鲁棒控制的定义与重要性
1.1 鲁棒控制的英文含义
鲁棒控制本身听上去不是很好理解，所以回归到它的英文
Robust
，它的含义就是强壮的意思。鲁棒当然就是它的音译，当理解了含义之后，就可以明白鲁棒控制，即控制器设计是很强壮的。
1.2 维基百科上的定义
在维基百科上面有这样一段话介绍鲁棒控制：
To achieve robust performance and/or stabilty in presence of bounded modeling error.
其中有两点需要注意：presence
和
bounded
。即存在有界误差。它的应用也非常广泛，比如空调系统，或者巡航系统，因为都存在一些误差，但是这些误差都是有界的，比如空调室外温度是有界的。比如巡航系统不管是在雨天或者在雪地，摩擦系数也都是有界的，但是是不确定的误差。
1.3 自适应控制示例
举个例子，有这样的系统：
$$
\dot { x } = a x ^ { 2 } + u
$$
叫做自适应控制(Adaptive Controller)。
假设a 是未知常数，可以令
$$
u = \dot { x } d + x ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } e x ^ { 2 } d t + k e
$$
使得x 趋向于x d 。在鲁棒控制中，条件变得更加苛刻：a 不再是常数，只知道a 是有界的数，即
$$
| a | \le | \overline { a } |
$$
目标依然是令x → x d ，即
$$
x _ { d } - x = e \rightarrow 0
$$
其中，e 是误差。
二、鲁棒控制器设计
如何设计控制器呢？
先看一般形式：
$$
\dot { x } = f ( x ) + u
$$
目标是令x → x d ，误差的动态方程就是
$$
\dot { e } _ { d } = \dot { x } _ { d } - \dot { x } = \dot { x } _ { d } - f ( x ) - u
$$
前提条件是| f ( x ) | < ρ ( x )。可以令
$$
u = \dot { x }_d + k e + \rho \frac { | e | } { e }
$$
其中
$$
\frac{|e|}{e}=\text{sgn} \left( e \right) \left{ \begin{array}{c} \begin{array}{c} 1\ 0\ \end{array}\ -1\ \end{array} \right. \begin{array}{c} e>0\ e=0\ e<0\ \end{array}
$$
在图上画出来的图形如下：
三、数学证明
下面证明为什么这样的控制器设计可以使系统稳定。
3.1 李雅普诺夫稳定性
从李亚普诺夫方程的角度考虑问题，令
$$
V ( e ) = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }
$$
对其求导可得
$$
\begin{aligned}
\dot V\left( e \right) &=e\dot{e}=e\left( \dot{x}_d-f\left( x \right) -u \right)\
&=e\left( \dot{x}_d-f\left( x \right) -\dot{x}_d-ke-\rho \frac{|e|}{e} \right)\
&=-ke^2-ef\left( x \right) -\rho |e|\
&\leq -ke^2+|e||f\left( x \right) |-\rho |e|\
&\le -ke^2+|e|\rho -\rho |e|\
\end{aligned}
$$
即
$$
\dot V{ ( e ) } \leq - k e ^ { 2 }
$$
再回过头看
$$
V ( e ) = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }
$$
，可以推出来
$$
2 V ( e ) = e ^ { 2 }
$$
代入
$$
\dot V ( e ) \leq - 2 k V { (e) }
$$
移到左边来
$$
\dot { V } { ( e ) } + 2 k V { ( e ) } \leq 0
$$
得到微分方程不等式，引入新的大于0 的函数S ( t )，可以写成
$$
\dot { V } { ( e ) } + 2 k V { ( e ) } + S { ( t ) } = 0
$$
$$
\dot V { ( e ) } + 2 k V { ( e ) } = - S ( t )
$$
上式为一阶线性非齐次方程。
通解为
$$
V ( t ) = V ( 0 ) e^ {- 2 k t} - e^{- 2 k t } \int _ { 0 } ^ { t } e^{ 2 k t }s (\tau ) d \tau .
$$
注意：此处的
$$
e^{- 2 k t}
$$
为指数函数，不是误差。
3.2 进一步分析
在积分项里知道
$$
s ( \tau ) > 0
$$
，因为这是设的
$$
s ( \tau ) > 0
$$
。知道e 的指数都是大于0 的，所以积分项里的内容是大于0 的，积分项外面的这一项
$$
e^{- 2 k t}
$$
也一定是大于0 的。所以整个减去的这一项都是大于0 的，可以得到
$$
V ( t ) \le V { ( 0 ) } e^{ - 2 k t}
$$
在这种情况下，把
$$
V ( t )
$$
代进去
$$
\frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } ( t ) \le \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } ( 0 ) \text{exp} ( - 2 k t )
$$
两边开方可得到
$$
| e ( t ) | \leq | e ( 0 ) | \text{exp} ( - k t )
$$
是一种指数渐进稳定的形式。
四、滑模控制原理
下面做的这一系列的工作，就是为了证明当
$$
\dot { x } = f ( x ) + u
$$
其中，| f ( x ) | < ρ ( x ) 时，可以令
$$
u = \dot { x }_d + k e + \rho \frac { | e | } { e }
$$
这样就可以令
$$
e = x_d-x\rightarrow0,t\rightarrow0
$$
现在把式子代进来
$$
\dot { e } = \dot { x } _ { d } -\dot x=\dot x_d- f ( x ) - u =- k e - f ( x ) - \rho ( x ) \frac { e } { | e | }
$$
把u 代进去
$$
e = - k e - f ( x ) - \rho ( x ) \frac { e } { | e | }
$$
先看前面一部分
$$
e = - k e
$$
，观察函数的相平面：
横轴是e ，纵轴是
$$
\dot e
$$
，它是一条这样的线，在左半平面时，
$$
e < 0
$$
，
$$
\dot e>0
$$
，所以它将沿着线向右移动；在右半平面时，
$$
e > 0
$$
，
$$
\dot e<0
$$
，所以它将沿着线向左移动，最后都移动到0 点。
引入后面这两项
$$
- f ( x ) - \rho ( x ) \frac { e } { | e | }
$$
，其中f ( x ) 项是本身系统的项，而
$$
\rho ( x ) \frac { e } { | e | }
$$
是引入的控制项。
上面两项的目标是当系统偏离这条线时，引导系统状态滑到这条线上去。系统的状态变量可能在这条线的左面，也有可能在这条线的右边，但是因为有后面的一项，会不断地把系统状态往这条线上引导，所以这样的过程叫做滑模控制(Sliding Mode)。
滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)是一种鲁棒控制方法。鲁棒控制是指控制系统在面对模型不确定性、外部干扰和未建模动态时，仍能保持期望性能的能力。滑模控制通过设计一个滑动面和相应的控制律，使得系统状态在滑动面上滑动，即使在存在不确定性和干扰的情况下，也能保证系统的最终稳定性和期望的性能。
五、实例解析
现在来解刚刚的例子：
$$
\dot { x } = a x ^ { 2 } + u
$$
其中，a 有界，即
$$
| a | \le | \overline { a } |
$$
，
$$
a x ^ { 2 }
$$
就是一般形式中的f ( x )
$$
| f ( x ) | = | a | x ^ { 2 } \leq | \overline { a } | x ^ { 2 } < | \overline { a } | ( x ^ { 2 } + 0 . 1 )
$$
后面括号里不管写多少都可以，因为引入了常数以后，小于号就一定成立了，这就是
$$
\rho ( x )
$$
，所以就可以令
$$
u = k e + \dot { x } _ { d } + | \overline { a } |( x ^ { 2 } + 0 . 1 ) \frac { | e | } { e }
$$
这就是滑模控制器。
六、总结
大家可以自己设计 Simulink 验证。比如可以令a 是小于3 的随机数，随时间不断变化，看控制器的反应。
在下一篇博客里会再介绍两种另外的鲁棒控制器，并把它们放在一起给做比较。
本篇博客的内容就到这里，欢迎大家关注后续内容。