【控制理论】深入理解鲁棒控制 | 滑模控制原理与应用实例解析
【控制理论】深入理解鲁棒控制 | 滑模控制原理与应用实例解析
本文重点讲解鲁棒控制中的滑模控制，内容整理自B站知名up主DR_CAN的视频，作为学习笔记分享给大家共同学习。
引言
本篇博客重点讲解鲁棒控制中的滑模控制，内容整理自B站知名up主DR_CAN的视频，作为博主的学习笔记，分享给大家共同学习。
一、鲁棒控制的定义与重要性
1.1 鲁棒控制的英文含义
鲁棒控制本身听上去不是很好理解，所以回归到它的英文"Robust"，它的含义就是强壮的意思。鲁棒当然就是它的音译，当理解了含义之后，就可以明白鲁棒控制，即控制器设计是很强壮的。
1.2 维基百科上的定义
在维基百科上面有这样一段话介绍鲁棒控制：
"To achieve robust performance and/or stabilty in presence of bounded modeling error."
其中有两点需要注意："presence"和"bounded"。即存在有界误差。它的应用也非常广泛，比如空调系统，或者巡航系统，因为都存在一些误差，但是这些误差都是有界的，比如空调室外温度是有界的。比如巡航系统不管是在雨天或者在雪地，摩擦系数也都是有界的，但是是不确定的误差。
1.3 自适应控制示例
举个例子，有这样的系统：
$$
\dot{x} = ax^2 + u
$$
叫做自适应控制(Adaptive Controller)。
假设a是未知常数，可以令：
$$
u = \dot{x}_d + x^2 \int_0^t e^{x^2} dt + ke
$$
使得x趋向于$x_d$。在鲁棒控制中，条件变得更加苛刻：a不再是常数，只知道a是有界的数，即：
$$
|a| \leq |\bar{a}|
$$
目标依然是令$x \rightarrow x_d$，即：
$$
x_d - x = e \rightarrow 0
$$
其中，e是误差。
二、鲁棒控制器设计
如何设计控制器呢？
先看一般形式：
$$
\dot{x} = f(x) + u
$$
目标是令$x \rightarrow x_d$，误差的动态方程就是：
$$
\dot{e}_d = \dot{x}_d - \dot{x} = \dot{x}_d - f(x) - u
$$
前提条件是$|f(x)| < \rho(x)$。可以令：
$$
u = \dot{x}_d + ke + \rho \frac{|e|}{e}
$$
其中：
$$
\frac{|e|}{e} = \text{sgn}(e)
\begin{cases}
1 & e > 0 \
0 & e = 0 \
-1 & e < 0
\end{cases}
$$
在图上画出来的图形如下：
三、数学证明
下面证明为什么这样的控制器设计可以使系统稳定。
3.1 李雅普诺夫稳定性
从李亚普诺夫方程的角度考虑问题，令：
$$
V(e) = \frac{1}{2}e^2
$$
对其求导可得：
$$
\begin{aligned}
\dot{V}(e) &= e\dot{e} = e(\dot{x}_d - f(x) - u) \
&= e(\dot{x}_d - f(x) - \dot{x}_d - ke - \rho \frac{|e|}{e}) \
&= -ke^2 - ef(x) - \rho|e| \
&\leq -ke^2 + |e||f(x)| - \rho|e| \
&\leq -ke^2 + |e|\rho - \rho|e|
\end{aligned}
$$
即：
$$
\dot{V}(e) \leq -ke^2
$$
再回过头看$V(e) = \frac{1}{2}e^2$，可以推出来：
$$
2V(e) = e^2
$$
代入：
$$
\dot{V}(e) \leq -2kV(e)
$$
移到左边来：
$$
\dot{V}(e) + 2kV(e) \leq 0
$$
得到微分方程不等式，引入新的大于0的函数$S(t)$，可以写成：
$$
\dot{V}(e) + 2kV(e) + S(t) = 0
$$
$$
\dot{V}(e) + 2kV(e) = -S(t)
$$
上式为一阶线性非齐次方程。
通解为：
$$
V(t) = V(0)e^{-2kt} - e^{-2kt} \int_0^t e^{2kt}s(\tau)d\tau
$$
注意：此处的$e^{-2kt}$为指数函数，不是误差。
3.2 进一步分析
在积分项里知道$s(\tau) > 0$，因为这是设的$s(\tau) > 0$。知道e的指数都是大于0的，所以积分项里的内容是大于0的，积分项外面的这一项$e^{-2kt}$也一定是大于0的。所以整个减去的这一项都是大于0的，可以得到：
$$
V(t) \leq V(0)e^{-2kt}
$$
在这种情况下，把$V(t)$代进去：
$$
\frac{1}{2}e^2(t) \leq \frac{1}{2}e^2(0)\exp(-2kt)
$$
两边开方可得到：
$$
|e(t)| \leq |e(0)|\exp(-kt)
$$
这是一种指数渐进稳定的形式。
四、滑模控制原理
下面做的这一系列的工作，就是为了证明当：
$$
\dot{x} = f(x) + u
$$
其中，$|f(x)| < \rho(x)$时，可以令：
$$
u = \dot{x}_d + ke + \rho \frac{|e|}{e}
$$
这样就可以令$e = x_d - x \rightarrow 0, t \rightarrow 0$
现在把式子代进来：
$$
\dot{e} = \dot{x}_d - \dot{x} = \dot{x}_d - f(x) - u = -ke - f(x) - \rho(x) \frac{e}{|e|}
$$
把u代进去：
$$
e = -ke - f(x) - \rho(x) \frac{e}{|e|}
$$
先看前面一部分$e = -ke$，观察函数的相平面：
横轴是e，纵轴是$\dot{e}$，它是一条这样的线，在左半平面时，$e < 0$，$\dot{e} > 0$，所以它将沿着线向右移动；在右半平面时，$e > 0$，$\dot{e} < 0$，所以它将沿着线向左移动，最后都移动到0点。
引入后面这两项$-f(x) - \rho(x) \frac{e}{|e|}$，其中$f(x)$项是本身系统的项，而$\rho(x) \frac{e}{|e|}$是引入的控制项。
上面两项的目标是当系统偏离这条线时，引导系统状态滑到这条线上去。系统的状态变量可能在这条线的左面，也有可能在这条线的右边，但是因为有后面的一项，会不断地把系统状态往这条线上引导，所以这样的过程叫做滑模控制(Sliding Mode)。
滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)是一种鲁棒控制方法。鲁棒控制是指控制系统在面对模型不确定性、外部干扰和未建模动态时，仍能保持期望性能的能力。滑模控制通过设计一个滑动面和相应的控制律，使得系统状态在滑动面上滑动，即使在存在不确定性和干扰的情况下，也能保证系统的最终稳定性和期望的性能。
五、实例解析
现在来解刚刚的例子：
$$
\dot{x} = ax^2 + u
$$
其中，a有界，即$|a| \leq |\bar{a}|$，$ax^2$就是一般形式中的$f(x)$
$$
|f(x)| = |a|x^2 \leq |\bar{a}|x^2 < |\bar{a}|(x^2 + 0.1)
$$
后面括号里不管写多少都可以，因为引入了常数以后，小于号就一定成立了，这就是$\rho(x)$，
所以就可以令：
$$
u = ke + \dot{x}_d + |\bar{a}|(x^2 + 0.1) \frac{|e|}{e}
$$
这就是滑模控制器。
六、总结
大家可以自己设计Simulink验证。比如可以令a是小于3的随机数，随时间不断变化，看控制器的反应。
在下一篇博客里会再介绍两种另外的鲁棒控制器，并把它们放在一起给做比较。
本篇博客的内容就到这里，欢迎大家关注后续内容。