一阶RC充放电数学推导：让复杂变简单
一阶RC充放电数学推导：让复杂变简单
一阶RC电路是电子工程中最基本的电路之一，其充放电过程遵循特定的数学规律。本文将从微积分运算、微分方程等多个角度，详细推导一阶RC电路的充放电过程，并通过Multisim仿真验证理论结果，最后介绍时间常数的在线计算方法。
1、通过微积分运算
不想看公式的推导过程，可以跳转到“4、Multisim仿真”。
图1.1 一阶RC电路
图1.2 一阶RC充放电波形
令 Vs为电源电压，Vc电容两端电压，Vr电阻两端电压；流过串联电路的电流定义为 i。
根据基尔霍夫电压定律(KVL)，回路中的电压降之和为零。因此有：
根据
得：
，即
∵ 电流即电荷对时间微分
∴
，即
两边分别积分得：
设
，得
∵
∴
，已知：
经过变换可得：
∵ 电流即电荷对时间微分
再根据积与复合函数的求导法则可知：
∴
整理可得
2、通过微分方程
根据基尔霍夫电压定律(KVL)，回路中的电压降之和为零。因此有：
由于电阻上的电压降与电流成正比，即：
代入上式得：
将电容的电压电流关系式
代入上式，得：
为了解这个微分方程，我们可以将其改写为：
进一步整理为：
这是一个一阶线性微分方程，其解为：
其中，V0 是电容的初始电压(在t = 0时的电压)。
将电容电压的表达式代入电容的电压电流关系式，得：
计算导数后，得：
如果初始时电容未充电(即V0 = 0)，则上式简化为：
3、电压公式推导
1）通过电流公式推导
由公式
得到：
根据基尔霍夫电压定律(KVL)：
，可以推导出
∴
做一下变形可得：
2）通过微积分运算
流过电容的电流：
电阻两端电压：
，变形可得：
两边分别积分得：
下面部分推导参照“1、通过串联电路”的有关式子，最终可得
当t = RC时，e^(-1) = 36.8%，1-e^(-t/RC) = 63.2% = 63.2%Vs；
当t = 3RC时，e^(-3) = 5%，1-e^(-t/RC) = 95% = 95%Vs。
4、Multisim仿真
图4.1一阶RC的Multisim仿真
通常以时间常数 τ = RC度量电容充电时间，如图4.1所示。
光标1：x1 = 1mS即1τ时，电容C上的充电电压y1 = 3.1672V，达到3.1672Ｖ/5V = 63.2%；
光标2：x2 = 3mS即3τ时，电容C上的充电电压y1 = 4.7515V，达到4.7515V/5V = 95%。
t =1τ 电压达到63.2%
t =2.3τ 电压达到90%
t =3τ 电压达到95%
t =5τ 电压达到99%
5、时间常数在线计算
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