基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计

基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/one11070910/article/details/139688906

CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法是一种用于计算三角函数、反三角函数、指数和对数等数学函数的高效算法。基于FPGA的CORDIC向量模式实现，可以广泛应用于信号处理、图像处理等领域。本文将详细介绍CORDIC向量模式的原理及其在FPGA上的具体实现方法。

一、向量模式

1、向量模式原理

已知直角坐标下一点（x，y），如何求该点在极坐标系的坐标（ρ, θ）？当x和y都为正数时，有θ = arctan(y/x)，求θ的过程即就是求反正切函数的过程。CORDIC算法的思想就是：将向量（x，y）顺时针旋转一定的度数，如果旋转之后纵坐标为0，那么累计旋转的度数就是θ，横坐标x的值就是ρ，也就是向量的模长。

设(x_i, y_i)为原始坐标,以原点为中心，顺时针旋转θ_i之后的坐标为(x_{i+1}, y_{i+1})，则有如下公式：

x_{i+1} = x_i - y_i * sin(θ_i)
y_{i+1} = y_i + x_i * cos(θ_i)

那么每一次旋转的方程都可以这样表示：

x_{i+1} = x_i - y_i * sin(θ_i)
y_{i+1} = y_i + x_i * cos(θ_i)

上式经过多次迭代之后，x_n就是模长ρ，对于上式迭代有如下化简。

1.1

前面通过提取公共系数cos(θ_i)将乘法的次数减少了一半，进一步化简从cos(θ_i)入手：除了θ_0为1外，其余cos(θ_i)均为无理数，必须进行乘法操作，但乘法其实也是由多个移位器组成，因此如果旋转某个特殊的θ_i值,使得cos(θ_i)为简单移位操作，则所有的旋转乘法都可以修改为移位算法。

目前能够将乘法变为移位操作的序列通常都是1/2的n次方或者这些数的组合，例如cos(θ_i) = 2^(-i)，计算就可以转化为a右移i位，即a>>i。基于这种思想，可以使各次移位的角度满足θ_i = atan(2^(-i))或者tan(θ_i) = 2^(-i)。

计算出正切值如下表所示：

1.2

表达式中K_i在迭代时只是一个系数，旋转过程中这个系数与角度θ_i的大小无关且只需关注y_i趋近于0即可，因此迭代过程中可将K_i的值忽略为1，这样带来的结果是每次旋转后的新坐标模值都比前一次上，具体情况如下图所示。

在仅求解θ时可以忽略掉系数K_i，但求模值时，K_i每次都会使得横坐标变长，K_i是一系列固定的值，每次迭代过程中可以忽略，在最终计算模长时统一处理。

每一次都作为乘积因子出现补偿由于旋转作用带来的模长减小，对于确定迭代次数n的方程而言它是一个确定的乘数。

该乘法多项式的极限为：

K = ∏(i=0 to n) cos(θ_i)

1.3

在每次顺时针旋转后，若纵坐标y_i大于0，说明旋转的度数不够，下一次迭代还要顺时针接着旋转；若纵坐标y_i小于0，说明旋转的度数太大，下一次迭代就要变为逆时针往回补偿。

所以在向量伪旋转的基础上引入d_i来描述向量旋转的方向，d_i决定了θ_i的正负，进而表示旋转方向，当y_i>0时，d_i顺时针旋转，取1，逆时针则相反。

同时，引入角度累加器参数z用来记录向量的总旋转角度。

综上所述我们得到第i次的迭代方程：

x_{i+1} = x_i - d_i * y_i * 2^(-i)
y_{i+1} = y_i + d_i * x_i * 2^(-i)
z_{i+1} = z_i + d_i * θ_i

因此n次旋转后(x_n, y_n)的坐标为：

x_n = x_0 * K
y_n ≈ 0
z_n = θ

设θ_0 = 0，那么z_n就是对应向量的相角, x_n就是对应向量的模值。

2、向量模式的MATLAB仿真

第一步：生成数值表，由数值表，第16次迭代可以达到0.001精度的要求。

迭代次数 角度 tan(θ_i)正切值 K系数 1/K

0 45 1 0.707106781 1.414213562
1 26.56505118 0.5 0.632455532 1.58113883
2 14.03624347 0.25 0.613571991 1.629800601
3 7.125016349 0.125 0.608833913 1.642484066
4 3.576334375 0.0625 0.607648256 1.645688916
5 1.789910608 0.03125 0.60735177 1.646492279
6 0.89517371 0.015625 0.607277644 1.646693254
7 0.447614171 0.0078125 0.607259112 1.646743507
8 0.2238105 0.00390625 0.607254479 1.64675607
9 0.111905677 0.001953125 0.607253321 1.646759211
10 0.055952892 0.000976563 0.607253032 1.646759996
11 0.027976453 0.000488281 0.607252959 1.646760193
12 0.013988227 0.000244141 0.607252941 1.646760242
13 0.006994114 0.00012207 0.607252937 1.646760254
14 0.003497057 6.10E-05 0.607252935 1.646760257
15 0.001748528 3.05E-05 0.607252935 1.646760258
16 0.000874264 1.53E-05 0.607252935 1.646760258
17 0.000437132 7.63E-06 0.607252935 1.646760258
18 0.000218566 3.81E-06 0.607252935 1.646760258
19 0.000109283 1.91E-06 0.607252935 1.646760258

第二步：开始迭代。

3、向量模式的FPGA实现

3.1 预处理

表中的角度值都为浮点数，在硬件在不易实现，故而将角度做乘法以适当扩大，便于硬件计算。由仿真可知，要达到0.001精度需要16次迭代，也就是说x和y最小需要乘以2^16后做加减，故而在开始16次迭代之前，首先将初始值x和y都算数左移16位，相当于先乘以2^16，这样可以保证16次迭代中，x和y都一定是整形计算。另外，为了统一起见，这里对所有角度也都乘以2^16，同样保证角度累加z为整形计算。这样处理后计算的结果也都是乘以2^16的值，将结果再算数右移16位即得到原始结果。

3.2 迭代

（i+1）次迭代时，判断上一次迭代结果y_i的符号位y[31]的情况，当符号位为0时说明y_i为正，此时纵坐标大于0，下一次迭代角度要增加，d_i当符号位为1时相反。以第4次迭代为例。

3.3 结果计算

16次迭代结束后的结果值，y趋近0，x为扩展后的模值，z为角度值。

将x乘以旋转因子K即可得到模值。16次迭代后的K=0.607252935，在硬件层面做如下化简：

K = 0.607252935 * 2^16

则模值为：

ρ = x * K / 2^16

FPGA代码链接:基于FPGA的CORDIC算法向量模式实现资源-CSDN文库

Matlab代码链接：基于Matlab的CORDIC算法实现资源-CSDN文库