圆周角定理的证明
圆周角定理的证明
圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周角与圆心角之间的关系。这个定理不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。本文将通过严谨的证明过程，帮助读者深入理解圆周角定理。
1.圆周角和圆心角的概念
圆周角是指角的顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角，如下图：
在图中(\angle D),(\angle C)和(\angle F)就是圆周角。
圆心角是指顶点在圆心上，两条边与圆周相交的角，如：
如上图(\angle BAE)就是圆心角。
2.证明圆周角定理
圆周角定理为同一个弧对应的圆周角是圆心角的(\frac{1}{2})。在下图中弧CBE对应的公式为：(\angle D=\frac{1}{2} \angle A)
接下来来证明圆周角定理，分为三种情况
情况一：
圆周角的一边和圆心角的一边处于同一条直线上：
(\because \angle CAD+\angle C+\angle D=180^{\circ } )
(\therefore \angle CAD=180^{\circ }-\angle C-\angle D)
(\therefore \angle BAD=180^{\circ }-\angle CAD=180^{\circ}-\left ( 180^{\circ}-\angle C - \angle D\right ) )
(\therefore \angle BAD=\angle C + \angle D)
(又\because \angle C = \angle D)
(\therefore \frac{1}{2} \angle BAD=\angle C)
(这就证明了)
$$\angle C=\frac{1}{2}\angle A$$
情况二：
圆周角和圆心角的任何一边都不重合，如下：
我们发现，可以沿着两个角的顶点做一条线，即连接点D和点A，如下：
就把它分成两个情况一，便可以轻松证明。
情况三：
圆周角顶点在圆心角以外，如图:
我们可以连接EA并延长到圆周上并命名与圆周的交点为F，如：
(根据情况一，可以证明\frac{\angle FEC}{\angle FAC}=\frac{\angle FED}{\angle FAD} =\frac{1}{2})
(又因\angle CAD = \angle FAD - \angle FAC,\angle CED = \angle FED-\angle FEC)
(则,\frac { \angle CED} { \angle CAD}=\frac{\angle FED-\angle FEC}{\angle FAD-\angle FAC}= \frac{\angle FED-\angle FEC}{2\left ( \angle FED-\angle FEC \right ) } = \frac{1}{2})
(即可证明{\color{Red} {\angle CAD = \frac{1}{2}\angle CED}})