Dijkstra算法详解：如何在最短时间内找到最优路径？

Dijkstra算法详解：如何在最短时间内找到最优路径？

Dijkstra算法是计算机科学领域中解决最短路径问题的经典算法，广泛应用于网络路由、地图导航等领域。本文将从算法的基本概念、核心思想、具体步骤、时间复杂度分析以及实际应用中的局限性等多个维度，为你详细解析这一重要算法。

一、Dijkstra 算法简介

算法的重要性不言而喻，尤其是在现实生活中，比如你用的导航软件，背后就是算法在发挥作用。Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉于1956年提出的，它的主要目标是解决单源最短路径问题。也就是说，给你一个起始点，如何找到到其他各个点的最短路径。

这个算法的关键点在于，它只适用于没有负权边的图，负权边的存在会导致结果的不确定性。想象一下，如果一条路的收费是负的，那你岂不是可以不断重复走这条路以节省费用吗？

二、Dijkstra 算法的核心理念

贪心策略是算法的核心，它意味着每一步都是基于当前信息做出最优决策，而且这个决策在未来可以引导我们找到全局最优解。结合了广度优先搜索（BFS）的特性，即便在复杂的图中，Dijkstra算法依然能迅速定位到最佳路径，这也是为什么它在各种应用中还是首选算法。

通过将图中的每个节点视为一个状态，我们可以利用“扩散”的方式逐步找到从起点到其他点的最短路径。这里的扩散可以理解为对每一个节点进行更新，逐步扩展到未访问的节点。实际上，它通过一系列的操作，不断优化每个节点的“距离”，最终实现全图的最短路径计算。

三、算法步骤详解

1. 初始状态设置

• 我们定义两个集合：S（已确定最短路径的点）和U（未确定的点）。在开始时，S仅包含源点，而U则包含整个图中的所有其他点。
• 每个顶点的距离初始化：若顶点与源点相邻，距离为相应边的权值；否则，该顶点的距离设为无限大（INF）。
• 这种初始化方式确保我们在算法运行时，能清晰地确定每个点目前的距离状态。

2. 选择最近的顶点

• 通过遍历U，选出距离源点最近的顶点u，将其加入S，意味着我们决定了从源点到u的最短路径。
• 一旦点u被选择并加入S，就会将其从U中移除，并进行距离更新。

3. 松弛操作

• 松弛操作是实现路径更新的关键，通过检查每个未访问点与已访问点的边权来进行距离更新。
• 公式：if (dis[v] > dis[u] + w(u, v))
• 如果点v到源点的当前距离大于点u到源点的距离加上点u到点v的边权，那么我们更新点v的最短路径。
• 注意：在执行松弛操作时，确保每个邻接点的更新都是基于最新的已知最短路径，这样才能确保结果的正确性。

四、Dijkstra 算法图解

起点与终点的设定是算法图解过程中的重要部分。假设我们的起点是0，而目标终点是4。在初始化阶段，起点的距离为0，所有其他节点的初始距离为无限大。

当我们选中点0后，松弛其邻接的点，比如1和7。此时，点0的邻接点距离会被更新。当我们寻找未被标记的点中距离源点最近的点时，经过几轮运算后，逐步标记1、7、6等。

作图的时候，可以与实际应用结合，如Google Maps的路线选择，这不仅是理论上的图，实际上是生活中处理路线问题的有效方式。

五、时间复杂度分析

分析Dijkstra算法时，首先要明确不同的实现方式会导致时间复杂度的变化：

1. 邻接矩阵的实现

• 时间复杂度为O(V^2)，其中V是顶点的数目。对于小规模的密集图，使用邻接矩阵是非常直观且容易实现的。

2. 邻接表的实现

• 时间复杂度为O(E log V)，其中E是边的数量。邻接表更适合处理稀疏图，且在大多数实际应用中广泛使用。

选择合适的数据结构不仅影响算法效率，更能在面对实际问题时大幅度提高程序的执行速度。

六、随堂检测

在学习完Dijkstra算法后，可以通过随堂检测来了解自己的掌握程度。例如，一个简单的选择题几乎能涵盖你对算法理解的整体情况。

在检测题目中，如果我问你，Dijkstra算法在查找最短路径时，他不能应用于边权值为负的图。这个问题可以考察到你对算法局限性的理解。

七、Dijkstra 算法的局限性

为什么边的权值不能为负数？这是因为，如果在路径计算过程中遇到负权边，它会导致之前已经确定的最短路径可能会被推翻。这就好像你走到了一个大城市的中心，然后发现你可以通过刚发现的小巷子绕过去，省下不少时间和金钱。

如果当前最短路径长度是8，而一个邻接点的边权是-15，再加上原本站在另一个点的距离20，这样一来，负权边影响了原有的解，导致你必须重新计算，这显然是不符合Dijkstra算法设计的逻辑。

八、编程实战

在实际编码中，Dijkstra算法的实现通常有两种方式：

1. 朴素版

• 使用邻接矩阵存储图，可以方便实现。其时间复杂度较高，但对学习入门非常有帮助。

def dijkstra(graph, start):
![](https://wy-static.wenxiaobai.com/chat-rag-image/4297816988887834051)
V = len(graph)
dis = [float('inf')] * V
dis[start] = 0
visited = [False] * V
for _ in range(V):
![](https://wy-static.wenxiaobai.com/chat-rag-image/9072876538342227550)
u = min_dist(dis, visited, V)
visited[u] = True
for v in range(V):
![](https://wy-static.wenxiaobai.com/chat-rag-image/7616963841470379840)
if graph[u][v] and not visited[v]:
new_dist = dis[u] + graph[u][v]
if new_dist < dis[v]:
dis[v] = new_dist
return dis

2. 进阶版

• 使用邻接表和优先队列（如heapq），可以有效优化性能。

![](https://wy-static.wenxiaobai.com/chat-rag-image/7952160429787898739)
import heapq
![](https://wy-static.wenxiaobai.com/chat-rag-image/15568048984086164206)
def dijkstra(graph, start):
V = len(graph)
dis = [float('inf')] * V
dis[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
cur_dist, u = heapq.heappop(priority_queue)
for v, weight in graph[u]:
if cur_dist + weight < dis[v]:
dis[v] = cur_dist + weight
heapq.heappush(priority_queue, (dis[v], v))
return dis

这两种实现各有优缺点，但使用邻接表和优先队列的方式是现代编程中的优选方案，能大大提高算法的运行效率。