单自由度有阻尼自由振动：运动方程求解与Simulink实现
单自由度有阻尼自由振动：运动方程求解与Simulink实现
单自由度有阻尼自由振动是振动力学中的一个基础而重要的概念。本文将详细介绍其运动方程的求解方法，并通过Simulink仿真展示不同阻尼条件下的振动特性。
1 单自由度有阻尼自由振动
单自由度有阻尼自由振动是振动力学中一个基础而重要的概念，它涉及三个核心要素：
- 单自由度：它指的是振动系统只有一个独立的运动方向或振动模式，即系统只能在一个特定的轴线上进行往复运动。
- 有阻尼：阻尼是振动过程中系统所受到的阻力，它来源于多种因素，如材料内部的摩擦、结构间的接触摩擦以及周围介质对振动的阻碍等。阻尼的存在会消耗系统的机械能，导致振幅逐渐减小，振动逐渐衰减。
- 自由振动：它是指系统在没有外力作用下的振动。在单自由度有阻尼自由振动中，系统仅受初始条件（如初始位移和初始速度）的激励，随后在没有外力干扰的情况下振动。由于阻尼的存在，这种振动会逐渐减弱，直至最终停止。
2 求解单自由度有阻尼自由振动
对于上图所示的单自由度有阻尼自由振动，首先需要建立单自由度有阻尼自由振动的运动方程，由下式给出：
其中m、c、k分别代表系统的质量、阻尼和弹簧刚度。
上式是一种典型的二阶常系数齐次线性微分方程，求解该方程通常会假设解的形式：
其中A、s为待定常数。将假设解的形式代入到运动方程，可以得到特征方程：
注意到这里的特征根：
由此就可以给出运动方程的通解：
3 过阻尼、临界阻尼、欠阻尼振动
为了更好地分析阻尼振动的状态，可以引入临界阻尼系数和阻尼比。
临界阻尼系数的定义是：使特征方程根的值为0的阻尼系数，其定义由下式给出：
其中
为系统在无阻尼条件下的固有振动频率。
阻尼比的定义是：系统的阻尼系数与临界阻尼系数的比值，其定义由下式给出：
此时的特征根可以改写为：
则此时可以根据根号是否有实数解对振动状态进行分类：
3.1 过阻尼振动
当
，此时的阻尼大于临界阻尼系数，阻尼振动系统为过阻尼振动，此时系统的运动为非周期性运动，且不会产生周期运动。
此时运动方程的解为：
此时根据初始条件即可对方程进行求解：
3.2 临界阻尼振动
当
，此时的阻尼等于临界阻尼系数，阻尼振动系统为临界阻尼振动，此时系统的运动和过阻尼振动相同，也是非周期性运动，且不会产生周期运动。与过阻尼振动不同的是，此时的运动恰好在一个运动周期内将能量损耗。
此时运动方程的解为：
此时根据初始条件即可对方程进行求解：
3.3 欠阻尼振动
当
，此时的阻尼小于临界阻尼系数，阻尼振动系统为欠阻尼振动，此时系统的运动是周期性运动，且运动的振幅逐渐降低。需要注意的是，阻尼会改变振动系统的固有频率。
此时运动方程的解为：
注意到这里的解中包含了复数，这是因为其解具有周期性所导致的。
将其改写为三角函数的形式：
这里
，表示有阻尼系统的固有频率。
最后，代入初始条件即可进行求解：
最后的运动方程改写为：
4 使用Simulink进行设置与求解
Simulink是MathWorks公司开发的一款基于MATLAB的框图设计环境，它提供了一个动态系统建模、仿真和分析的集成环境。它支持多种类型的动态系统建模，并可以快速建立模型及求解。
Simulink的求解器如下图所示：
这里设置m=10，k=10，c为变量，初始速度dx=5，初始位移x=1。
当设置c=0时，系统为无阻尼振动，振动位移如下图所示：
当设置c=10时，系统为欠阻尼振动，振动位移如下图所示：
当设置c=20时，系统为临界阻尼振动，振动位移如下图所示：
当设置c=40时，系统为过阻尼振动，振动位移如下图所示：
后记
- 修改固有频率的数值可以得到不同的振动周期图像；
- 可以修改初始条件以得到不同的结果；
- 通过调整步长可以得到更精确的图像。