棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

一. 棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和。

例1. 四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积。

解析：各棱长均相等的四面体即正四面体，它的四个面都是边长为a的正三角形。

解：正三角形的面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

所以正四面体的表面积为$S_{P-ABC}=4\times\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}a^2$

记住一些常用结论非常有用，如：边长为a的正△，中心到顶点的距离$\frac{a}{3}$，中心到边的距离$\frac{a\sqrt{3}}{6}$，高为$\frac{a\sqrt{3}}{2}$。

练习1.1

已知一个底面是菱形的直四棱柱，它的长为9和15，高为5，求该直四棱柱的表面积。

解析：直四棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱

解：$AC=\sqrt{15^2-5^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$

$BD=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$

$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{14^2+5^2}=\sqrt{64}=8$

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\times BD=\frac{1}{2}\times10\sqrt{2}\times2\sqrt{14}=20\sqrt{7}$

$S_{ABCD-ABCD}=2\times20\sqrt{7}+4\times5\times8=160+40\sqrt{7}$

练习1.2

正三棱台上、下底面边长分别是2和4，高为1，求该正三棱台的表面积。

解析：作如图的辅助线