程序员必看：浮点数精度问题全解析
程序员必看：浮点数精度问题全解析
本文将深入探讨浮点数在计算机中的表示、存储和精度问题。通过详细的解释和示例，您将了解浮点数误差的根源。文章内容较多，大约3700余字，阅读时间约为10分钟，建议先收藏，待有空时再细细品读。
1、引言
0.1 + 0.2 为什么不等于 0.3 ？
当被问及浮点数为何存在误差时，你将如何回答？
没看完这篇文章之前你可能会回答:“哼，反正我就知道有误差…”
阅读完这篇文章后，你将能够更准确地回答这类问题，让我们开始这段学习之旅吧！
2、浮点数存储格式
浮点型在内存中的存储不是像整形那样直接存储的，而是用一种二进制的科学计数法来表示的,具体的数学表达式为
V = (-1)s× M × 2e
其中，e = E - 127
在计算机科学领域，IEEE 754 是一种标准，用于定义浮点数的表示方法，浮点型数据的存储格式如下
请务必记住，尾数存储用原码，阶码存储用移码
- S(符号位)：0代表正数，1代表负数。
- E(阶码)：指数字段需要同时表示正指数和负指数。为了得到存储的指数，在实际指数上加一个偏置，其中
e=E-127
。 - M(尾数)：一个规范化尾数就是小数点左边只有一个1，然后是小数点后面的尾数部分。
注意本文后续使用的
e
表示科学计数法中的指数部分，
E
表示存储格式中的阶码，默认的对象都指单精度的浮点数。
3、转换流程
接下来我选择了一个恋爱脑的数字，将
1314.520
转换到32位单精度IEEE 754二进制浮点表示标准。
3.1、将整数部分转换为二进制
将整数部分反复除以2，并记录每次的余数，直到商为0为止。
division = quotient + remainder;
1314 ÷ 2 = 657 + 0;
657 ÷ 2 = 328 + 1;
328 ÷ 2 = 164 + 0;
164 ÷ 2 = 82 + 0;
82 ÷ 2 = 41 + 0;
41 ÷ 2 = 20 + 1;
20 ÷ 2 = 10 + 0;
10 ÷ 2 = 5 + 0;
5 ÷ 2 = 2 + 1;
2 ÷ 2 = 1 + 0;
1 ÷ 2 = 0 + 1;
从上面构造的列表的底部开始取所有余数，即为整数部分的二进制表示。
131410=101 0010 00102
3.2、将小数部分转为二进制
将小数部分不断乘以2，并记录每次的整数部分，直到小数部分为0或达到所需的精度为止
#) multiplying = integer + fractional part;
1) 0.52 × 2 = 1 + 0.04;
2) 0.04 × 2 = 0 + 0.08;
3) 0.08 × 2 = 0 + 0.16;
4) 0.16 × 2 = 0 + 0.32;
5) 0.32 × 2 = 0 + 0.64;
6) 0.64 × 2 = 1 + 0.28;
7) 0.28 × 2 = 0 + 0.56;
8) 0.56 × 2 = 1 + 0.12;
9) 0.12 × 2 = 0 + 0.24;
10) 0.24 × 2 = 0 + 0.48;
11) 0.48 × 2 = 0 + 0.96;
12) 0.96 × 2 = 1 + 0.92;
13) 0.92 × 2 = 1 + 0.84;
14) 0.84 × 2 = 1 + 0.68;
15) 0.68 × 2 = 1 + 0.36;
16) 0.36 × 2 = 0 + 0.72;
17) 0.72 × 2 = 1 + 0.44;
18) 0.44 × 2 = 0 + 0.88;
19) 0.88 × 2 = 1 + 0.76;
20) 0.76 × 2 = 1 + 0.52;
21) 0.52 × 2 = 1 + 0.04;
22) 0.04 × 2 = 0 + 0.08;
23) 0.08 × 2 = 0 + 0.16;
24) 0.16 × 2 = 0 + 0.32;
虽然我们没有得到任何等于0的小数部分，但是我们有足够的迭代(超过尾数限制)。
从顶部开始依次取乘法运算的所有整数部分，即为小数部分的二进制：
0.5210=0.1000 0101 0001 1110 1011 10002
3.3、规范化
前面得出了整数以及小数部分的二进制表示，合并以后即：
1314.5210
= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 10002
将小数点向左移动 10 位，使其左边只剩下一位非零的数字
1314.5210
= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 10002
= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 10002×20
= 1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 002×210
再回顾一下浮点数的数学表达式 V = (-1)s× M × 2e由此可知
s = 0
M = 1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 00
e = 10
3.4、调整阶码
根据规范化得知指数
e = 10
，又根据公式
e = E - 127
可得知道
E=137
，所以八位阶码的二进制表示如下所示：
E = 13710= 1000 10012
3.5、尾数舍入
由第三步
规范化
得出的尾数M有34位，但是存储格式中尾数只有23位，下面划线的是多出的部分，所以需要对尾数按照一定的方式进行四舍五入。
M =1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 00
一共有四种舍入方式，
- 向偶数舍入，就近舍入(默认)。
- 朝0舍入：即朝数轴零点方向舍入，即直接截尾。
- 朝正无穷舍入：对正数而言，只要多余位不全为0则向最低有效位进1；负数则直接截尾。
- 朝负无穷舍入：对负数而言，向最低有效位进1；正数若多余位不全部为0则简单截尾。
向偶数舍入，简单理解就要让尾数的最后一位为0，让其保持偶数，能够被2整除。当尾数的最低位为0时，已经是属于偶数了，无需处理。当尾数最低位为1时，需要加1，使其保持偶数。
因为本例计算出尾数的最后一位为1，按照就近舍入(向偶舍入)原则需要加1使其保持偶数。
所以经过调整后的M为
M = 0100 1000 1010 0001 0100 011 + 1
M = 0100 1000 1010 0001 0100 100
3.6、组三元素
根据前面的步骤可以得知
s = 0
E = 1000 10012
M = 0100 1000 1010 0001 0100 1002
1324.5210= 0-1000 1001-0100 1000 1010 0001 0100 1002
我们去一个转换网站上验证一下转换结果，网站链接放在文章末尾了。
可以看到，跟我们转换的结果是相同的，说明网站转换也是选择向偶数舍入的。
4、单/双精度浮点数比较
4.1、存储格式
类型 符号位 指数长度(Bit) 尾数长度(Bit)
float 1 8 23
double 1 11 52
4.2、精度
浮点数的精度是由尾数的位数来决定的。
对于float型浮点数，尾数部分23位，换算成十进制就是 2^23=8388608，所以十进制精度只有6 ~ 7位；
这里的数字6和7可能会引起疑问，如何理解它们呢？
由于浮点数尾数的舍入问题，最后一位可能存在舍入误差，因此不完全准确。因此，可以准确表示的是后六位，而第七位则可能含有误差。
对于double型浮点数，尾数部分52位，换算成十进制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十进制精度只有15 ~ 16位
类型 有效位 字节数
float 6 - 7 4
double 15 - 16 8
4.3、浮点数范围
类型 最小值 最大值
float 1.175494351 E - 38 3.402823466 E + 38
double 2.2250738585072014 E - 308 1.7976931348623158 E + 308
4.4、浮点数比较
浮点数的比较通常用两数之差的绝对值小于一个自定义的数值时，代表两者相等，如下所示:
#define FLOAT_EPSILON (0.000001) //Define your own tolerance
#define FloatIsEqual(a, b) ((fabs((a)-(b)))<(FLOAT_EPSILON))
另外一种方法是将浮点数同时放大一个倍数，然后转成整数之间的比较，比如同时放大10000倍等。
5、阶码相关问题探索
首先阶码E是用移码表示的，那么问题来了，什么叫移码？移码怎么计算？ 移码的含义是？浮点数为什么要用移码表示？
在解答这些知识点时，我们需要下面两点需要达成一致
- 阶码使用的是非标准移码
- 阶码是一个无符号的整数
5.1、什么是移码
移码是补码表示中最高符号位取反的结果。举个例子，上面计算1314.52时，指数是为10的。
+1010= 0000 10102（真值）
原码：0000 1010
反码：0000 1010
补码：0000 1010
移码：1000 1010
所以10对应标准的移码
1000 1010
。
5.2、如何计算移码
注意浮点数中移码的计算是非标准的，仅偏移2n-1-1=127。所以移码的计算公式如下所示，其中n为阶码的位数：
E = e + 2n-1- 1
E = e + 127
所以10对应的移码为137。
5.3、为什么要用移码表示
它通过将数值加上一个固定的偏移量，使得原本可能是负数的数值变为非负数，从而简化了计算机中有符号数的表示和比较操作。使得计算机能够直接使用整数运算来比较浮点数的大小。
6、指数e
6.1、指数范围
浮点数指数部分的实际取值范围是 [-2(e-1)+2, 2(e-1)-1]，其中 e 为指数所占位数。32位浮点数，指数占8位，实际取值范围是 [-126, 127]。
-127用作表示0，128 用作表示无穷大和 NaN。NaN 是 “Not a Number” 的缩写，中文意思是“非数字”，通常用于表示一个未定义或不可表示的值。
换言之，8位阶码的表示范围是[0, 255]，其中0和255用于表示特殊值。因此，根据公式推导，指数e的实际取值范围是[-126, 127]。
6.2、特殊值
形式 指数(e) 阶码(E) 小数部分
零 -127 0 0
无穷 128 2e-1 = 255 0
NaN(非数) 128 2e-1 = 255 非0
7、文中问题解答
此时再来回答文中引言提出的问题，
0.1 + 0.2 为什么不等于 0.3 ？
#include <stdio.h>
int main() {
double a = 0.1 + 0.2;
printf("%.17f", a);
}
输出为
0.30000000000000004
，由于在尾数舍入时会带来一定的误差，所以并不完全相等。
当在被问及浮点数为何存在误差时，你将如何回答？欢迎文章留言说出你的看法。
如果不从技术的角度回答这个问题，可以这样回答：整数是离散的，有限的并能够被计算机表示的，小数部分是连续的，包含无穷多的数，数量之多是无法被计算机存储的，只能存储计算机能够表示的最接近这个数值的小数部分，所以可能会不相等。
8、参考链接
IEEE 754 浮点数的表示方法
FloatConverter在线工具
IEEE 754
IEEE754单精度阶码真值为什么是-126-127
9、总结
本篇文章深入分析了浮点数的存储格式到转换流程，再到指数e以及阶码E的探索，大家应该对浮点数有了更全面的理解。