用拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量实验报告

用拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量实验报告

实验名称：用拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量

一、实验目的

学习用拉伸法测定钢丝的杨氏模量；掌握光杠杆法测量微小变化量的原理；学习用逐差法处理数据。

二、实验原理

长为 (l)，截面积为 (S) 的金属丝，在外力 (F) 的作用下伸长了 (\Delta l)，称 (E = \frac{F}{S} \cdot \frac{l}{\Delta l}) 为杨氏模量（如图1）。设钢丝直径为 (d)，即截面积 (S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2)，则 (E = \frac{4F}{\pi d^2} \cdot \frac{l}{\Delta l})。

伸长量 (\Delta l) 比较小不易测准，因此，利用光杠杆放大原理，设计装置去测伸长量 (\Delta l)（如图2）。

由几何光学的原理可知，(\Delta l = \frac{b}{2B} \cdot \Delta n)，其中 (b) 为光杠杆常数，(B) 为平面镜到标尺的距离，(\Delta n) 为标尺读数的变化量。

三、主要仪器设备

杨氏模量测定仪；光杠杆；望远镜及直尺；千分卡；游标卡尺；米尺；待测钢丝；砝码；水准器等。

四、实验步骤

1. 调整杨氏模量测定仪
2. 测量钢丝直径
3. 调整光杠杆光学系统
4. 测量钢丝负荷后的伸长量

• 砝码盘上预加2个砝码。记录此时望远镜十字叉丝水平线对准标尺的刻度值 (n_0)。
• 依次增加1个砝码，记录相应的望远镜读数 (n_i)。
• 再加1个砝码，但不必读数，待稳定后，逐个取下砝码，记录相应的望远镜读数 (n'_i)。
• 计算同一负荷下两次标尺读数 ((n_i) 和 (n'_i)) 的平均值 (\bar{n}_i)。
• 用隔项逐差法计算 (\Delta n_i)。

5. 用钢卷尺单次测量标尺到平面镜距离 (B) 和钢丝长度 (l)；用压脚印法单次测量光杠杆后足到两前足尖连线的垂直距离 (b)。
6. 进行数据分析和不确定度评定，报道杨氏模量值。

五、数据记录及处理

1. 多次测量钢丝直径

表1 用千分卡测量钢丝直径
（仪器误差取0.004mm）

A类不确定度：0.0024mm
B类不确定度：mm
总不确定度：0.0034mm
相对不确定度：0.48%
测量结果：

2. 单次测量：用米尺单次测量钢丝长 (l)、平面镜与标尺间距 (B)，用游标卡尺测量光杠杆长 (b)（都取最小刻度作为仪器误差，单次测量把B类不确定度当作总不确定度处理）

表2 钢丝长 (l)、平面镜与标尺间距 (B)、测量光杠杆长 (b)
单位：mm
（计算方法：不确定度=仪器误差/）

3. 光杠杆法测量钢丝微小伸长量

表3 测量钢丝的微小伸长量
（注：为了简化不确定度评定，这里我们可以不严格地把B类不确定度当作总不确定度，并且把标尺最小刻度的1/5当作“仪器误差”，即）

4. 计算杨氏模量并进行不确定度评定

由表1、表2、表3所得数据代入公式
[ E = \frac{4F}{\pi d^2} \cdot \frac{l}{\Delta l} ]
可得钢丝的杨氏模量的：
相对不确定度
总不确定度
(N/m2)
测量结果

实验报告

实验名称：拉伸法测弹性模量

实验目的与要求：

1. 用拉伸法测定金属丝的弹性模量。
2. 掌握光杠杆镜尺法测定长度微小变化的原理和方法。
3. 学会处理实验数据的最小二乘法。

主要仪器设备：

弹性模量拉伸仪（包括钢丝和平面镜、直尺和望远镜所组成的光杠杆装置）， 米尺， 螺旋测微器

实验原理和内容：

1. 弹性模量

一粗细均匀的金属丝， 长度为 (l)， 截面积为 (S)， 一端固定后竖直悬挂， 下端挂以质量为 (m) 的砝码； 则金属丝在外力 (F=mg) 的作用下伸长 (\Delta l)。 单位截面积上所受的作用力 (F/S) 称为应力， 单位长度的伸长量 (\Delta l/l) 称为应变。

有胡克定律成立：在物体的弹性形变范围内，应力 (F/S) 和 (\Delta l/l) 应变成正比， 即
[ \frac{F}{S} = E \cdot \frac{\Delta l}{l} ]
其中的比例系数 (E) 称为该材料的弹性模量。

性质： 弹性模量 (E) 与外力 (F)、物体的长度 (l) 以及截面积 (S) 无关， 只决定于金属丝的材料。

实验中测定 (E)， 只需测得 (F)、(S)、(l) 和 (\Delta l) 即可， 前三者可以用常用方法测得， 而 (\Delta l) 的数量级很小， 故使用光杠杆镜尺法来进行较精确的测量。

2. 光杠杆原理

光杠杆的工作原理如下： 初始状态下， 平面镜为竖直状态， 此时标尺读数为 (n_0)。 当金属丝被拉长 (\Delta l) 以后， 带动平面镜旋转一角度 (\alpha)， 到图中所示 (M') 位置； 此时读得标尺读数为 (n_1)， 得到刻度变化为 (\Delta n = n_1 - n_0)。 (\Delta n) 与 (\Delta l) 呈正比关系， 且根据小量忽略及图中的相似几何关系， 可以得到
[ \Delta l = \frac{b}{2B} \cdot \Delta n ]
（(b) 称为光杠杆常数）

将以上关系， 和金属丝截面积计算公式代入弹性模量的计算公式， 可以得到
[ E = \frac{4F}{\pi d^2} \cdot \frac{l}{\Delta l} = \frac{4F}{\pi d^2} \cdot \frac{2Bl}{b \Delta n} ]
（式中 (B) 既可以用米尺测量， 也可以用望远镜的视距丝和标尺间接测量； 后者的原理见附录。）

根据上式转换， 当金属丝受力 (F_i) 时， 对应标尺读数为 (n_i)， 则有
[ F_i = \frac{\pi d^2}{8Bl} \cdot \frac{b}{\Delta n_i} \cdot E ]
可见 (F) 和 (n) 成线性关系， 测量多组数据后， 线性回归得到其斜率， 即可计算出弹性模量 (E)。

P.S. 用望远镜和标尺测量间距 (B)：

已知量： 分划板视距丝间距 (p)， 望远镜焦距 (f)、转轴常数 (\delta)

用望远镜的一对视距丝读出标尺上的两个读数 (N_1)、(N_2)， 读数差为 (\Delta N)。 在几何关系上忽略数量级差别大的量后， 可以得到
[ \Delta N = \frac{2B}{f} \cdot p ]
又在仪器关系上， 有 (x=2B)， 则
[ B = \frac{f \cdot \Delta N}{2p} ]
（(p) 为视距丝间距， (f) 为望远镜焦距）

由上可以得到平面镜到标尺的距离 (B)。

步骤与操作方法：

1. 组装、调整实验仪器

• 调整平面镜的安放位置和俯仰角度以确保其能够正常工作。
• 调整望远镜的未知， 使其光轴与平面镜的中心法线同高且使望远镜上方的照门、准星及平面镜位于同一直线上。
• 调节标尺， 使其处于竖直位置。
• 通过望远镜的照门和准星直接观察平面镜， 其中是否课件标尺的像来确定望远镜与平面镜的准直关系， 以保证实验能够顺利进行。
• 调节望远镜， 使其能够看清十字叉丝和平面镜中所反射的标尺的像， 同时注意消除视差。

2. 测量

打开弹性模量拉伸仪， 在金属丝上加载拉力（通过显示屏读数）

当拉力达到 10.00kg 时， 记下望远镜中标尺的刻度值 (n_1)， 然后以每次 1.00kg 增加拉力并记录数据， 直到 25.00kg 止。

用钢尺单次测量钢丝上下夹头之间的距离得到钢丝长度 (l)。

用卡尺测量或者直接获得光杠杆常数 (b)。

用望远镜的测距丝和标尺值， 结合公式计算出尺镜距离 (B)。

用螺旋测微器在不同位置测量钢丝直径 8 次（注意螺旋测微器的零点修正）

数据记录与处理：

以下是实验中测得的原始数据：

1. 钢丝的长度 (L=401.2 , \text{mm})
2. 钢丝的直径 (d)（其中螺旋测微器的零点漂移值 (\Delta=-0.01 , \text{mm}) 已包含）
3. 由望远镜测得的差丝读数 (N_1=44.8 , \text{mm}) (N_2=63.8 , \text{mm})
4. 光杠杆常数（实验室给出）(b=(84.0 \pm 0.5) , \text{mm})
5. 钢丝加载拉力 (F_i) 及对应的标尺读数 (n_i)

未加载拉力时， 标尺读数为 (n_0=53.4 , \text{mm})

结果与分析：

钢丝长度测量值的不确定度为 (\Delta_i=0.5 , \text{mm})， 钢丝长度为 (l=401.2 \pm 0.5 , \text{mm})

将加载拉力数据和相应的标尺读数转化为 (F) 以 (N) 为单位， (n_i) 以 (m) 为单位， 得到如下

对上表数据进行处理， 使用 MLS

(F) 与 (n_i) 的关系图及其二乘法线性回归如下图所示：

结合以上有关数据， 可以得到

下面计算 (E) 的相关不确定度：

相关量的值及其不确定度如下：

又已知

代入相关已知数据， 可以得到 (U_E=2751552554.69)， 修约后为 (U_E=3 \times 10^9)

得到 (E) 的最终结果为 (E=(1.97 \pm 0.03) \times 10^{11} , \text{Pa})

讨论、建议与质疑：

1. 光杠杆的测量原理为以下两个性质的组合： 绝对光路可逆原理， 几何上的相似三角形性质。 它利用光传播的直线性、可逆性， 使人眼通过望远镜观测到的标尺读数（长度）与钢丝的型变量， 在几何上通过相似三角形的关系联系起来， 另外通过平面镜的反射性质， 又再次将型变量在之前的基础上放大至两倍， 综上起到放大微小变化量的结果。 放大倍数与光杠杆常数 (b)， 尺镜距离 (B) 有关（可以认为与这两者比例 (B/b) 成正比关系）。 当系统给定的光杠杆常数 (b) 固定时， 在可读数的范围内增加尺镜距离 (B)， 可以增大放大倍率从而提高尺镜法测量微小变化量的灵敏度。

2. 在实验中测量一个物理量，需要综合考虑测量的方便程度和该物理量所需的精密程度。 在平衡这两者的基础上选择合适的实验仪器， 因此在实验中， 不同的物理量是用不同的测量仪器来测量的。 实验中测量误差最大的值为钢丝的长度， 因为钢尺量程不够， 是用两把钢尺重叠的方法测量， 在读数时会造成钢尺位移； 另外该物理量仅测量一次， 都会造成产生较大的误差。 改进建议是是用较大量程的钢尺进行测量。

3. 本实验的操作过程并不复杂， 但是将微观尺度的化学键作用同宏观的金属丝形变联系起来， 体现了物理学上用宏观体现微观性质的一种思想； 另外实验中所是用的光杠杆尺镜测量法也提供了一种微小变量的较精确测量方法， 值得学习和借鉴。 实验中的感受是， 事先预习实验内容， 操作时细心、 稳当， 都是保证实验快速成功的条件。

4. 对本实验的改进是， 在加载力控制盒上加自动卸载的装置， 比如在内部注射器的活塞杆上套弹簧， 当弹簧限位被解除时， 便可以自动将拉力卸载（类似于千斤顶的卸载开关）， 这样能够方便地将拉力卸载到较小的符合值， 而不用手动拉活塞杆。