数列极限证明方法：单调有界准则详解

数列极限证明方法：单调有界准则详解

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/weixin_62613321/article/details/139911861

数列极限的证明是数学分析中的一个重要内容，特别是在处理递推数列时，单调有界准则是一个非常有效的工具。本文将系统地介绍如何使用单调有界准则来证明数列极限的存在，并求出具体的极限值。

数列极限证明的基本方法

数列极限的证明大题的目标是，证明数列极限存在且求此极限。核心方法是：单调有界准则，如有上界+数列单增，则可说明数列极限。

单调有界准则

在利用单调有界准则的过程中，我们先要证明有界性，再去证明单调性。因为，有界性有助于我们判断单调性。

证有界性和单调性的方法

• 有界性的证明方法：

  1. 数学归纳法
  2. 利用不等式
  3. 通过简单的整理分子分母，就可以得到界

• 单调性的证明方法：

  1. 给出首项，利用导数工具，证明数列单调性
  2. 未给出首项，则构造(x_{n+1}-x_n)或(x_{n+1}/x_n)的形式，尝试分母有理化等方法，证明>0或<0
  3. 数学归纳法

使用导数来证明数列单调性的说明：
函数的导数>0,则说明数列单调。至于单增还是单减，要通过分析(x_1)和(x_2)之间的关系，(x_1>x_2)，就是单减，反之是单增。函数的导数<0，则无法说明数列单调。采用别的方法-压缩映射法。一般来说，如果首项已知，选取(f(x))作为函数求导，若未知，选取(x_{n+1}-x_n)作为求导对象。

真题实战

例题1

设 (x_1 = 10)，(x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n}) ((n = 1,2,...)），试证数列({x_n})极限存在，并求此极限。

1. 在做此类题目的第一步是预求极限，先把答案要求的极限求出来，然后就可以用来提前把握证明有界性
2. 证明有界性
3. 证明单调性
   下结论，求极限（把预求的结果抄一遍）

例题2

设 (0 < x_1 < 3)，(x_{n+1} = \sqrt{x_n(3 - x_n)}) ((n = 1,2,...)），试证数列({x_n})极限存在，并求此极限。

证明有界性中常用到的不等式

1. (\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})
2. (\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}})
3. (e^x \geq x + 1) (对于任意(x))
4. (x - 1 \geq \ln x) (对于(x > 0))

三角函数相关：

1. (\sin x < x) (对于(x > 0))
2. (\sin x < x < \tan x) (对于(0 < x < \frac{\pi}{2}))
3. 当(0 < x < \frac{\pi}{4})时，(x < \tan x < \frac{4}{\pi}x)
4. 当(0 < x < \frac{\pi}{2})时，(\sin x > \frac{2}{\pi}x)

数列极限证明的系统解决方法

入手第一步：预求收敛值

在拿到一道证明数列界限收敛，要先预先求出(x_n)的收敛值。

为什么我们要先证明数列收敛，才能求极限值？
因为，假如一个振荡的数列，1，2，1，2这种，它不收敛但是能求出极限值

为什么要预先求出(x_n)的收敛值？
原因如下：

1. 明确界限是什么？
2. 通过首项，明确我们要证明的单增还是单减？

如何求这个收敛值？以例1为例
根据(x_{n+1})的递推式，写出
[A = \sqrt{2 + A}, A^2 = 2 + A, 求出 A = 2 或 A = -1]
又因为 (x_1 = \sqrt{2} > 0)，A应为2

入手第二步：先证明有界，后证明单调

为什么先证明有界？因为在实际问题中，我们需要用到有界的结论，才能很好的证明出单调性。

开始证明

通过做题不断掌握证明方法
例1:证明有界时，用到了数学归纳法,证明单调时，列出了两种方法，第一种仍是数学归纳法，第二种是做差，将问题转化为，由第一问中证出的有界，把它看作成一个定义域，求做差之后的式子的值域问题。

在实际做题的过程中，常常用第二种方法证明单调

例2:
在证明有界的过程中，我们还可以使用一些不等式

例题详解

例1：
设 (x_1 = \sqrt{2})，(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n})，证明({x_n})收敛，并求极限值

类题1：
(1996)设 (x_1 = 10)，(x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n})，证明({x_n})收敛，并求极限值

例2：

例3：

例4：

对于(a_{n+1}=f(a_n))型的数列

对于(a_{n+1}=f(a_n))型的数列，(a_n)和(a_{n+1})之间的关系完全是由(f(x))决定，那么函数(f(x))的有界性是否会影响到数列({a_n})的有界性？

答案是显而易见的，结论如下，需要记牢。

例题1：
设(a_0=25)，(a_n=\arctan a_{n-1}) ((n=1,2,…)），证明({a_n})收敛，并求极限

因为(\arctan x)有界，则({a_n})有界
又因为(\arctan x)单调递增，({a_n})单调
综上({a_n})收敛，(A=\arctan A)，(A=0)

例题2：