偏导数、方向导数、梯度和微积分详解

偏导数、方向导数、梯度和微积分详解

一、偏导数

对于一元函数y=f(x)只存在y随x的变化，但是二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率，随y变化的变化率，随x﹑y同时变化的变化率。如下图所示

1、偏导数定义

设函数在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，定y=y0，一元函数在点x=x0处可导，即极限。

则称A为函数在点(x0,y0)处关于自变量x的偏导数。记作：、、或者

2、几何意义：

偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率，偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率。如下图所示

3、例题

求在点（1，2）的偏导数。

二、方向导数

1、介绍

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。现在假设如下图所示，有两火苗分别沿x、y轴蔓延，问蚂蚁沿什么方向跑才能存活？

可以很容易想到沿矩形的对角线跑。现在有函数

可以得出距离，然后可以得出函数值的增量。

如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数，用公式表达就是

特别的，函数在X轴正向={1,0}，Y轴正向={0,1}的方向导数分别为，负方向导数为

2、定理

如果函数在点是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在，公式表达为，为X轴到L的角度。

3、例题

求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。

示意图如下：

求解过程如下：

三、梯度

1、梯度

函数在平面域内具有连续的一阶偏导数，对于其中每一个点都有向量，则其称为函数在点P的梯度。梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。用公式表达来就是：

。

设是方向L上的单位向量。

由方向导数公式可知：。

其中。

2、结论

只有，才有最大值。

函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与方向导数最大值取得的方向一致，从而而它的模正好是最大的方向导数，也就是方向导数的最大值。

3、例题

设，求grad，并求在点处方向导数的最大（小）值。

4、小结

（1）、方向导数的概念，注意方向导数与一般所说偏导数的区别

（2）、注意梯度其实是一个向量。

（3）、方向导数与梯度的关系，梯度的方向就是函数f(x，y)在这点增长最快的方向，梯度的模就是方向导数的最大值。

四、微积分

1、介绍

微积分诞生于17世纪，主要帮助人们解决各种速度，面积等实际问题，如下图所示，怎么才能求得曲线的面积呢？

首先对于一个矩形来说，我们可以轻松求得其面积，那能不能用矩形代替曲线形状呢？如果能行的话，那应该用多少个矩形来代替曲线呢？

在ab之间插入若干个点，这样就得到了n个小区间，这样的话每一个小矩形的面积为：，这样的话对每个小矩形的面积求和的话就可以近似得到曲线的面积：

当分割无限加细，每个小区间的最大长度为，此时。由此可得曲线的面积为：

从求和角度来看，我们需要尽可能的将每一个矩形的底边无穷小，而莱布尼兹为了体现求和的感觉，给S拉长了，简写成

2、微分：

由于无穷小的概念，dx,dy都叫做微分。所谓微积分就是把这些微分积起来。

微分是什么？其实很简单，用两个式子就可以很简单的描述了：

3、定积分

当|Δx|—>0时，总和S总是趋于确定的极限I，则称极限I为函数f(x)在曲线[a，b]上的定积分

其中，积分值和被积函数与积分曲线有关，与积分变量字母无关。

当函数f(x)在区间[a，b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a，b]上可积。

4、定积分几何含义

面积的正负值：

也就是说如果定积分的值为正值，那它就表示曲边梯形的面积，如果求出来是负值的话，那它就表示曲边梯形的面积的负值

5、定积分性质：

1、

2、，k为常数。

3、假设a<c<b，则。

4、如果在区间[a，b]上，则。