偏导数的概念、存在性判断及连续性证明
偏导数的概念、存在性判断及连续性证明
偏导数是高等数学中的一个重要概念，特别是在处理多变量函数时。本文将详细介绍偏导数的定义、如何判断偏导数是否存在，以及如何证明偏导数的连续性。
偏导数的定义
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
设 (U \subseteq \mathbb{R}^n)，给定函数 (f: U \rightarrow \mathbb{R})，对于 (p \in U)，(f) 在 (p) 点的第 (i) 偏导数定义为：
[D_i f(p) = \lim_{t \to 0} \frac{f(p + te_i) - f(p)}{t} = (f \circ c)'(0)]
其中 (c) 为过点 (p) 的方向为 (e_i) 的直线 (c(t) = p + te_i)。
如何判断偏导数是否存在
偏导数是通过极限来定义的，按定义写出某点 ((x_0, y_0)) 处偏导数的极限表达式。以对 (x) 的偏导数为例：
[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0} ]
然后用极限的相关知识来考察这个极限是否存在。这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的，因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在。
偏导数连续性的证明方法
要证明偏导数连续，可以按照以下步骤进行：
- 先用定义求出该点的偏导数值 (c)。
- 再用求导公式求出不在该点时的偏导数 (f_x(x, y))。
- 最后求 (f_x(x, y)) 当 ((x, y)) 趋于该点时的极限。
- 如果 (\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f_x(x, y) = c)，则偏导数连续；否则不连续。
偏导数的具体例子
以二元函数 (z = f(x, y)) 为例：
(x) 方向的偏导数
设 ((x_0, y_0)) 是其定义域 (D) 内一点。把 (y) 固定在 (y_0) 而让 (x) 在 (x_0) 有增量 (\Delta x)，相应地函数 (z = f(x, y)) 有增量（称为对 (x) 的偏增量）：
[ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) ]
如果 (\Delta z) 与 (\Delta x) 之比当 (\Delta x \to 0) 时的极限存在，那么此极限值称为函数 (z = f(x, y)) 在 ((x_0, y_0)) 处对 (x) 的偏导数，记作 (f_x(x_0, y_0)) 或 (\frac{\partial z}{\partial x})。实际上就是把 (y) 固定在 (y_0) 看成常数后，一元函数 (z = f(x, y_0)) 在 (x_0) 处的导数。
(y) 方向的偏导数
同样，把 (x) 固定在 (x_0)，让 (y) 有增量 (\Delta y)，如果极限存在，那么此极限称为函数 (z = f(x, y)) 在 ((x_0, y_0)) 处对 (y) 的偏导数。记作 (f_y(x_0, y_0)) 或 (\frac{\partial z}{\partial y})。