xˣ图像怎么画？——有关幂指函数的那点事

xˣ图像怎么画？——有关幂指函数的那点事

xˣ图像怎么画？
——有关幂指函数的那点事

前言
想必每一位爱玩function的小朋友都会试过去画一些极其抽象的函数，比如这个
[真是个调皮的孩子]
不过，本期要聊聊的是这个函数y=xˣ，长得简单还真不简单(>ω<)
让我们开始吧！

一 什么函数？
y=xˣ，一拿到它，emm，底数是x，指数还是x，这玩意看起来像指数函数，又像幂函数，干脆，起个名，蜜汁　秘制　幂指函数吧！
想研究函数，先看定义域，正数正次幂一定有意义，负数负次幂可不一定（实数范围内），方便起见，把定义域设成(0,+∞). (我们稍后会了解到x取负函数是离散的)

二 怎么画呢？
最常见的描点似乎不怎么适用，要不你手算0.1^0.1，一般要抓住函数的几个特殊点.
1.零点：笨想啊, 正数正次幂也是正数呗,没有零点~
2.驻点：先开导吧！幂指函数可不是初等函数,不能套公式,但我们可以利用对数求导法——
ln y=xln x
y'/y=ln x +1
y'=(ln x +1)xˣ
求驻点,令y'=0,已知xˣ>0,可解得x=1/e.这标志着,此函数图像在x=1/e处有水平切线.另:0<x<1/e时y'<0,x>1/e时y'>0,可确定函数在区间上单调性.
3.拐点:如法炮制,y"=xˣ(ln x +1)²+xˣ⁻¹>0. 啊哦,拐点也没有!不过可以知道,此函数是凹的.
4.一个极限~ lim_x→0 xˣ=1
然后简单确定几个点(1,1),(2,4),(3,27),一画,大功告成!
小样,比指数函数涨得还快!

三 只能定义正数吗?
现在,回过头来,再想想,负数对于这个函数就真的没有定义吗?比如(-1)⁻¹不就是-1吗?但这样处境就有些困难了.面对负无理数,我们无法把它代入函数(指数不能写成分数形式,又怎么确定分母是奇是偶?).这样,100%的负数都没有定义了 (αωα)
为让它们得到定义,我们令y=xˣ是一个定义域为R,值域为C的函数.由复数乘方定义,
zⁿ=ρⁿ e^i(θ+2kπ)n
我们可以得到函数图像,长这样:

四 幂指函数只是xˣ吗?
其实,幂指函数就是幂底数和幂指数同时都含有自变量的函数.这种函数的推广,就是广义幂指函数. ----百度百科
所以,孩子们可以利用幂指函数创造更多乐趣!

五 笔者的问题
在我自己的探究中,发现点这样的事:如果把xˣ当成幂函数求导会得到xˣ,如果把它当指数函数求导会得到xˣln x,而这两个错误结果的和就是正确的导数了.我苦苦思索,却不能解答.

结语
好了本篇专栏就结束了,本栏仅仅是记录了数学海洋中的一个小小水滴,以及我的愚见.如果你能解答问题或想参与讨论,欢迎在评论区留言或私信批评指正~如果你也是数学爱好者,不妨一键三连,点个关注,你的支持也是我在数学海洋中遨游的快乐的一部分!

援引材料:
https://www.bilibili.com/video/BV1rm4y1S7W1/
李永乐老师的油管视频(转载:x的x次方图像长啥样？利用复数拓展乘方，刷新你对数学的认知！_哔哩哔哩_bilibili)
幂指函数_百度百科 (baidu.com)

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