C++实现伽玛函数、Psi函数和二伽玛函数

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@小白创作中心

C++实现伽玛函数、Psi函数和二伽玛函数

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/m0_61840987/article/details/145665692

伽玛函数、Psi函数和二伽玛函数是数学和物理学中常用的特殊函数。本文将介绍如何使用C++实现这些函数的计算，包括理论背景、具体实现代码以及示例演示。

项目背景与概述

伽玛函数（Gamma Function）是一种广泛应用于数学和物理学中的特殊函数，通常用于表示阶乘的扩展。伽玛函数的定义为：
其中，z 是复数变量（在实数情况下，z 通常是正数）。伽玛函数可以看作是阶乘的推广，且对于正整数 n，有：
Psi 函数（也叫 digamma 函数）是伽玛函数的第一阶导数，定义为：
它是与伽玛函数密切相关的一个特殊函数，在许多统计学和物理学问题中都有应用。
二伽玛函数（Trigamma Function）是 Psi 函数的二阶导数，定义为：

即它是伽玛函数的二阶导数。在数值分析中，二伽玛函数有很多应用，尤其是在计算复杂的概率分布、积分等方面。

项目实现思路

伽玛函数的实现：

可以通过斯特灵近似公式（Stirling Approximation）来计算伽玛函数。该公式在数值计算中非常高效，尤其是在处理大数时。
斯特灵近似公式为：

Psi 函数的实现：

Psi 函数（digamma 函数）可以通过伽玛函数的导数来计算。常用的数值方法包括使用递推公式：
或者使用斯特灵近似来计算。

二伽玛函数的实现：

二伽玛函数（Trigamma Function）是 Psi 函数的导数，我们可以使用递推方法来求解：

或者直接通过斯特灵近似的推广来实现。

C++实现代码

下面是一个 C++ 实现，评估伽玛函数、Psi 函数和二伽玛函数的程序。此代码将使用斯特灵近似来计算伽玛函数，并通过递推公式计算 Psi 和二伽玛函数。

#include <iostream>
#include <cmath>
// 斯特灵近似公式计算伽玛函数
double gamma_function(double z) {
    if (z <= 0.0) {
        std::cerr << "Gamma function is not defined for non-positive integers." << std::endl;
        return -1;
    }
    const double sqrt_2pi = 2.5066282746310002;
    const double Stirling_approximation = 0.99999999999980993;
    
    return sqrt_2pi * std::pow(z + Stirling_approximation, z - 0.5) * std::exp(-(z + Stirling_approximation));
}
// 计算 Psi 函数（Digamma Function），使用递推公式
double psi_function(double z) {
    if (z <= 0) {
        std::cerr << "Psi function is not defined for non-positive numbers." << std::endl;
        return -1;
    }
    double result = 0.0;
    while (z < 5) {
        result -= 1.0 / z;
        z += 1.0;
    }
    z = 1.0 / z;
    while (z < 5) {
        result += 1.0 / z;
        z += 1.0;
    }
    return result;
}
// 计算二伽玛函数（Trigamma Function）
double trigamma_function(double z) {
    if (z <= 0) {
        std::cerr << "Trigamma function is not defined for non-positive numbers." << std::endl;
        return -1;
    }
    double result = 0.0;
    while (z < 5) {
        result += 1.0 / (z * z);
        z += 1.0;
    }
    z = 1.0 / z;
    while (z < 5) {
        result -= 1.0 / (z * z);
        z += 1.0;
    }
    return result;
}
int main() {
    double z;
    std::cout << "Enter a value for z: ";
    std::cin >> z;
    double gamma_value = gamma_function(z);
    if (gamma_value != -1) {
        std::cout << "Gamma(" << z << ") = " << gamma_value << std::endl;
    }
    double psi_value = psi_function(z);
    if (psi_value != -1) {
        std::cout << "Psi(" << z << ") = " << psi_value << std::endl;
    }
    double trigamma_value = trigamma_function(z);
    if (trigamma_value != -1) {
        std::cout << "Trigamma(" << z << ") = " << trigamma_value << std::endl;
    }
    return 0;
}