二维FIR数字滤波器设计——窗函数设计法

二维FIR数字滤波器设计——窗函数设计法

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/u013600306/article/details/144532828

二维FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器设计中，窗函数法是一种常用的方法。它基于一维窗函数的设计思想扩展到二维空间。

二维FIR数字滤波器设计步骤

1. 确定理想频率响应

首先定义理想的频率响应H_d(u, v)，其中u和v是频率变量。这通常是一个理想的低通、高通、带通或带阻滤波器的响应。对于图像处理来说，这些滤波器可以用来平滑图像（低通）、锐化图像（高通）等。

2. 计算理想的脉冲响应

利用傅里叶逆变换从理想的频率响应H_d(u, v)中计算出对应的理想脉冲响应h_d(m, n)，即滤波器的系数。这里m和n是离散空间坐标。然而，这个理想的脉冲响应通常是无限长的，并且包含有吉布斯现象（Gibbs phenomenon），即在不连续点附近出现的振荡。

3. 设计窗函数

选择一个适当的二维窗函数W(m, n)来截断并加权理想的脉冲响应h_d(m, n)，以创建有限长度的滤波器系数。常用的窗函数包括矩形窗、汉宁窗（Hanning window）、汉明窗（Hamming window）、布莱克曼窗（Blackman window）等。二维窗函数可以通过一维窗函数的乘积形式得到，例如：

W(m, n) = w(m) × w(n)

其中w(m)和w(n)是相同或不同的窗函数。也有专门为二维设计的窗函数（如圆形窗）。窗函数的选择会影响滤波器的过渡带宽和阻带衰减特性。

4. 加窗处理

将理想的脉冲响应h_d(m, n)与窗函数W(m, n)相乘，并获得有限长度的实际脉冲响应h(m, n)：

h(m, n) = h_d(m, n) × W(m, n)

这样做不仅限定了滤波器的尺寸，而且通过窗函数的应用可以减少吉布斯现象的影响。

5. 滤波器实现

使用获得的滤波器系数h(m, n)对输入信号进行卷积操作，从而实现滤波功能。在图像处理中，这意味着对图像像素值应用该卷积核。

6. 性能评估

最后，对设计好的滤波器进行性能评估，检查其是否满足特定的应用需求，如通带纹波、阻带衰减、过渡带宽等指标。如果必要，可以根据评估结果调整窗函数或其他参数重新设计滤波器。

• 窗函数的选择：不同类型的窗函数会影响滤波器的频域特性。例如，矩形窗会提供最窄的主瓣但旁瓣较高；而其他窗函数可能会增加主瓣宽度但减少旁瓣电平。
• 滤波器尺寸：较大的滤波器尺寸可以更好地逼近理想的频率响应，但也会增加计算复杂度。
• 边界效应：在实际应用中，需要注意处理好图像边缘处的卷积运算，避免边界效应带来的失真。

不同结构的滤波器设计

在一维FIR数字滤波器设计——窗函数设计法的基础上，二维滤波器窗函数设计法有圆对称和可分离两种。

圆对称滤波器

1. 确定理想频率响应

首先，定义理想的频率响应H_d(u, v)。对于圆对称滤波器，理想频率响应是一个圆盘形状，即在某个半径内为1，之外为0。

H_d(u, v) =
\begin{cases}
1 & \text{if } \sqrt{u^2 + v^2} \leq \omega_c \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

其中，ω_c是截止频率。

2. 计算理想脉冲响应

通过逆离散傅里叶变换（IDFT）将理想频率响应转换为时域的脉冲响应h_d(m, n)：

h_d(m, n) = IDFT{H_d(u, v)}

3. 应用圆对称窗函数

应用高斯窗函数w(m, n)来平滑边缘，减少吉布斯现象。

win = fspecial('gaussian',21,2);
win = win ./ max(win(:));

4. 设计滤波器系数

将理想脉冲响应与矩形窗函数相乘，得到实际的滤波器系数h(m, n)：

h(m, n) = h_d(m, n) ⋅ w(m, n)

可分离滤波器

1. 定义理想频率响应

定义理想的频率响应H_d(e^jω1, e^jω2)。对于可分离滤波器，理想频率响应是一个矩形形状：

H_d(e^jω1, e^jω2) =
\begin{cases}
1 & \text{if } |\omega_1| \leq \omega_c \text{ and } |\omega_2| \leq \omega_c \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

其中，ω_c是截止频率。

2. 计算理想脉冲响应

通过逆离散傅里叶变换（IDFT）将理想频率响应转换为时域的脉冲响应h_d(m, n)：

h_d(m, n) = IDFT{H_d(e^jω1, e^jω2)}

3. 分解脉冲响应

将h_d(m, n)分解为两个一维滤波器的乘积：

h_d(m, n) = h₁(m) ⋅ h₂(n)

4. 应用窗函数

应用矩形窗函数w(m)和w(n)来平滑边缘，减少吉布斯现象。

w(m) =
\begin{cases}
1 & \text{if } |m| \leq M/2 \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

w(n) =
\begin{cases}
1 & \text{if } |n| \leq N/2 \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

M、N为滤波器尺寸。

5. 设计滤波器系数

将理想脉冲响应与矩形窗函数相乘，得到实际的滤波器系数h(m, n)：

h(m, n) = h₁(m) ⋅ w(m) ⋅ h₂(n) ⋅ w(n)