偏导数的几何意义

偏导数的几何意义

一元导数

在一元函数里，函数 $y=f(x)$ 的几何意义就是求该曲线的切线。

偏导数的几何意义

对于二元函数 $z=f(x,y)$，必须知道它表示的是一个曲面，为了查看这个曲面，需要放在立体空间里（如下图）。

所谓偏导数，相当于是求曲面上一点的切线。但是，过曲面上一点有无数条切线，需取哪个切线呢？

答案是：我们只求沿平行X坐标轴和Y坐标轴的切线。

对 $x$ 求导时，相当于表示曲线对 $x$ 轴的夹角的斜率，而对 $y$ 求导，相当于表示曲线对 $y$ 轴夹角的斜率。

对X轴求偏导

（1）空间有一个曲面

（2）想象一下拿一把刀沿 $x$ 轴砍一刀，

（3）刀痕和曲面相交，形成一个曲线

（4）在曲线上取一点，做曲线的切线，就是函数对 $x$ 轴的偏导数。

偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 表示 $f(x,y)$ 曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0T_x$ 对 $x$ 轴正向的斜率 (图 6-8)。

例1 已知 $z=e^{xy}+x^2y$ 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$

解：通过上面分析，当对 $x$ 求偏导数时，因为是沿平行于 $x$ 轴进行切割，所以 $y$ 值是固定的，换句话说，需要把 $y$ 看成常数，得

$$\frac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}+2xy$$

对Y轴求偏导

偏导数 $f_y(x_0,y_0)$ 就是曲面被平面 $x=x_0$ 所截得的曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0T_y$ 对 $y$ 轴正向的斜率(图 6-9)。

例2 已知 $z=e^{xy}+x^2y$ 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$

解：通过上面分析，当对 $y$ 求偏导数时，因为是沿平行于 $y$ 轴进行切割，所以 $x$ 值是固定的，换句话说，需要把 $x$ 看成常数，得

$$\frac{\partial z}{\partial y}=xe^{xy}+x^2$$

一元微分

对于一元微分，如果函数是 光滑并且连续的，如下图所示，设 $P_0$ 为曲线上的一个定点，$P$ 为曲线上的一个动点。当 $P$ 沿曲线逐渐趋向于点 $P_0$ 时，并且割线 $PP_0$ 的极限位置 $P_0T$ 存在，则曲线弧 $\stackrel{^}{P_0P}$ 可以近似用 $P_0P$ 替代

即： $x_0$ 附近曲线与直线的近似可以表示

$$
\begin{array}{rl}
& \underset{\text{曲线}}{\underset{⏟}{f(x_0+\Delta x)}}=\underset{\text{切线}}{\underset{⏟}{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}}+\underset{\text{代表非常小的值}}{\underset{⏟}{o(\Delta x)}}
\end{array}
$$

在一元曲线里，我们使用 切线替代了曲线，而在二元曲线里，我们自然想用 切平面替代曲面

切平面

在一个曲面上，取一个极小的面积元，我们将通过极限思维研究这个面积元。

把上面这个极小的面积元放到放大倍数无限大的显微镜下观看，如下：

红色表示原始曲面，而深蓝色表示曲面的法平面。

可以证明详见此处，如果曲线是光滑、连续的，那么，过曲线上固定的这一点的所有切线都在一个平面内，这个平面叫做切平面。

下面的问题是：我们能否用切平面替代曲面呢？如下图，在曲面上取一点 $f(x_0,y_0)$, 并沿 $x,y$ 再取极小的一段 $\Delta x,\Delta y$

可以求的曲面与切平面的近似值为

$$
\underset{\text{曲面}}{\underset{⏟}{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}}=\underset{\text{切平面}}{\underset{⏟}{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}}+\underset{\text{代表非常小的值}}{\underset{⏟}{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}}
$$

上面出现了 $o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$

这是以此点的邻域是半径为 $r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 的圆