艾森斯坦判别法：判断整系数多项式在有理数域是否可约的重要方法

艾森斯坦判别法：判断整系数多项式在有理数域是否可约的重要方法

艾森斯坦判别法（Eisenstein's criterion）是判断整系数多项式在有理数域是否可约的一种重要方法，在代数理论中占有重要地位。本文将详细介绍该判别法的定理内容、证明过程，并通过具体示例帮助读者理解其应用。

艾式判别法的定理内容

设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+···+a_1x+a_0$是一个整系数多项式。若存在一个质数$m$，使得：

1. $m$不整除$a_n$
2. $m$整除$a_{n-1}，a_{n-2}，···，a_0$
3. $m^2$不能整除$a_0$

那么$f(x)$在有理数域上不可约。

艾式判别法的证明过程

我们可以用反证法来进行证明，大致如下：

证明：假设$f(x)$在有理数域上可均，即$f(x)=g(x)h(x)$，其中$g(x)=c_sx^r+···+b_0$，$h(x)=c_sx^s+···+c_0$，这里$r>0$，$s>0$且$r+s=n$

1. 考虑$f(x)$的首项系数

   1. 因为$f(x)=g(x)h(x)$，所以$a_n=b_rc_s$
   2. 由条件$m$不整除$a_n$，又因为$m$为质数，所以$m$不整除$b_r$且$p$不整除$c_s$

2. 考虑$f(x)$的常数项

   1. $a_0=b_0c_0$
   2. 由于$m$整除$a_0$，所以$m$整除$b_0$或者$m$整除整除$c_0$.不妨设$m$整除$b_0$

3. 考察$m$对$g(x)$和$h(x)$系数的影响

   1. 对于$k=1，2，…，n，a_k=b_rc_{k-r}+b_{r-1}c_{k-r+1}+…+b_{k-s}c_s$
   2. 已知$m$整除$a_1$，$a_2$，…，$a_ {n-1}$
   3. 因为$m$整除 $a_1$，即$m$整除$b_rc_1+b_{r-1}c_0$；
   4. 又因为$m$整除$b_0c_1+b_1c_0$且$m$整除$b_0$，所以$m$整除$b_1c_0$；
   5. 由于$m$是质数且$m$整除$b_0$，所以$m$整除$b_1$或者$m$整除$c_0$；
   6. 已知$m^2$不整除$a_0=b_0c_0$，所以如果$m$整除$b_0$，那么$m$不整除$c_0$，从而推出$m$整除$b_1$.
   7. 通过对$a_2，a_3，…$进行分析，可以逐步推出$m$整除$b_2，b_3，…，b_r.$
   8. 但这与前面得出的$m$不整除$b_r$矛盾

故假设不成立，即$f(x)$ 在有理数域上不可约. 证毕

艾式判别法的示例

例如，对于多项式$f(x)=2x^3+3x^2+1$

取质数$p=3$，此时3不能整除$a_3=2$；

3整除$a_2=3$，3整除$a_1=0$，3整除$a_0=1$；

$3^2=9$，不能整除$a_0=1$.

所以根据艾式判别法，该多项式$f(x)=2x^3+3x^2+1$在有理数域上不可约.