《九章算术》缺少的临门一「角」：角度、弦表与三角函数的发展
《九章算术》缺少的临门一「角」：角度、弦表与三角函数的发展
《九章算术》是中国古代最重要的数学典籍之一，但其中却缺少了一个关键性的数学概念——角度。这个缺失不仅影响了中国古代数学的发展，也导致了天文测量和历法计算的落后。本文将探讨角度概念在数学史上的重要性，以及托勒密的弦表如何解决了弧弦互算问题。
在《科学月刊》2024年3月号刊出的〈超过300年的「倍立方」探究之旅 古希腊人对平方轨迹的探索〉一文中，作者提到古希腊数学「并无不重实用」。这边要提供读者另一古希腊数学实用的例子——托勒密（Claudius Ptolemy）的弦表。弦表不但是最早的函数观念之一，也具体呈现了三角函数（sin、cos 等）的真谛，它还是对数（log）被发明的契机。在本篇文章中，笔者想藉此谈一谈历史对数学教育的启发，特别是阐明「角」与「三角」真正应该学习的素养。
中国最伟大的数学典籍——《九章》
图一：弦、弧与矢（作者提供）
故事要从古中国最伟大的数学典籍——《九章算术》（简称《九章》）说起。在进入现代之前，2000年以来的华人数学家（以前称为「畴人」）皆以此书作为标准的数学入门教材。很多人写过《九章》「有」什么，但这里要说它「没有」什么。《九章》有两个主要的「悬念」：两道没有正确公式的题目。
《九章》的第一个悬念是「球体积公式」，这条公式可以作为当代文明进展的一个里程碑。这个悬念还好，不久之后就被南北朝刘宋时期的数学家祖冲之与祖暅解决。所谓的「祖暅原理」就是在球体积公式的推论过程中出现，可惜目前的教科书都还没有善用这则美妙的历史故事。汉文明比希腊文明晚了700多年抵达「球体积」的里程碑，但相比较于其他文明还是算早。
《九章》的第二个悬念「弧弦互算」可就严重了，问题发生在〈方田〉章中的「弧田」节，没能提供一般性的「弦矢求弧」算法。在圆上任取两点A、B，这两点决定的线段称为AB弦；在两点之间且长度不超过半圆的那一段圆周，则称为AB弧（图一）〔注〕。在此配置中，AB弦和AB弧称为彼此相对的弦或弧。
[注]
本文所说「弧」都是「圆弧」的简称。
彼此相对的弦与弧围成的平面区域，在《九章》中称为弧田，现在则称为弓形；在弓形内部，弦的中垂线段称为矢。而「弦矢求弧」的题目意思是：已知弦长与矢长，如何求弧田面积？《九章》没能给出这题的公式。而这个弧田未解的悬念，便成为中国的千年悬案，一直到欧洲数学传入中国为止，华人始终没有自己解决这个问题。
解不开的弧弦互算问题
读者或许会说，弓形面积不就是扇形减去三角形吗？这个观念确实正确。三角形的其中一个是圆心，假设已知的弦长为2a、矢长为b，则三角形面积为a(r－b)，但扇形面积为多少？古人已经知道，假如弧长是2s，则这一段弧在整圆中占的比例为s/πr，所以扇形面积是πr²× s / πr ＝ rs。于是可以得到「弦矢求弧」的公式（图二）：
弧田面积＝rs － ar ＋ ab
图二：弧田面积的算法（作者提供）
其中，圆半径r可以运用毕氏定理从弦矢算出来：r ＝ (a²+b²) / 2b，但始终找不到从弦矢算出弧长2s的公式，也就是无法从a、b算出s。所以「弦矢求弧」也可以说是从弦矢求弧长的问题。而这个问题的本质，其实是「弧弦互算」，也就是在已知半径的前提下从弧算出相对的弦长，反之就是从弦算出相对的弧长。
读者如果稍微回忆一下以前曾经学过的公式，会想到我们还应该知道弧所对应的圆心角。这正是关键了，东方与西方文明的一个关键性的分岔点，发生在这个不起眼的小观念——角。《九章》及之后的所有中国算书，都没有讨论到圆心角的问题——他们没想到将弦与弧联系起来的关键是圆心角，当然也不曾想过要测量角了。因此缺乏角度概念的汉文明，始终无法解答「弧弦互算」的问题。笔者认为，「华人无角」这个历史评论虽然有些过于简化，却大体上不失公允（延伸阅读）。
以函数解答弧弦互算
所有圆彼此相似，给定圆心角后，伸缩半径时只会在弦和弧按比例放大或缩小（图三）；也就是说半径在这个脉络里的角色就像比例常数，并不是问题的关键。因此，现代教科书大多令半径为单位长，而本文也一律以「给定半径r」为前提。
图三：弦和弧的比例（作者提供）
我们同时以θ表示圆心角，以及它的测量数值（角量）。因为圆具备任意旋转的对称性，所以θ所对的弧长/弦长只由角的大小决定，与角的方位无关。因此弧长/弦长全然由角量决定，这正是函数观念：弧长/弦长是所对的圆心角的函数，在计算时分别会用arcθ和crdθ表示这两个函数。小学会用「度」（°）作为角量的单位，因此得到arcθ的公式，也就是函数arc的代数式为：arcθ＝ π / 180 ×rθ，定义域为0 ≦ θ ≦ 360。
到了高中改用「弧度」作为角量的单位，因此换成了另一条公式：arcθ＝rθ，定义域为0 ≦θ≦ 2π。弧长公式是「反之亦然」的函数关系，意思是圆心角量决定它所对的弧长：s＝arcθ，弧长也决定它所对的圆心角量：θ＝arc⁻¹s。反算的公式为：θ ＝arc⁻¹s ＝180 / π×s / r度＝s / r弧度。
同样地，若将角限定在0°～ 180°的范围内，则角θ与弦c之间也有「反之亦然」的函数关系；圆心角量决定它所对的弦长：c＝ crdθ，弦长也决定它所对的圆心角量：θ＝ crd⁻¹c。
以圆心角为中介，arc和crd两种函数可以实现「弧弦互算」，而配置如图二的「弦矢求弧」也能算了：弧长2s＝ arc(crd⁻¹(2a))，题目中的矢长b用来决定半径r。但问题在于θ＝ crd⁻¹c只是观念上的函数，它并没有代数表达式，也就是说它没有「公式」，所以还是无法算出。其实历史上还有另一种可能，或许《九章》的作者群及后来的畴人曾思考过圆心角，但是苦于找不到θ＝ crd⁻¹c的公式，因此只能停滯不前。
角度与天文历法的关系
尽管如此，「缺了角」的汉文明仍然有高度的工程成就，不但建构出万里长城，还打造了南北大运河，而这些工程在建设时都少不了大地测量。由此可見，大地测量并不一定需要角。《九章》的〈勾股〉章提供了足夠測量所需的數學。勾股就是直角三角形，《九章》从不讨论它的锐角，只运用它的三边比就足够做大地测量了。西方文明使用一般三角形做测量的优點，是可以应用正弦定理与余弦定理，但这两个定理都是毕氏定理的推广（〈勾股〉也有毕氏定理），所以有了角只是在计算上更方便一些，并没有本质的差异。
图四：缺了角的汉文明，仍然建構出万里长城等需要大地测量的建设（Adobe Stock）
真正需要角度概念的是「弧弦互算」，它不但可以解决弦矢求弧问题，更是天文测量的基础数学，可以說角的威力展現於量天（天文測量），而非量地（大地測量）。缺角对文明的损害，首先发生在天文与历算。当19世纪西方耶稣会的传教士来到中国时，东方的历算已经落后，西来会士靠著历算本领进入钦天监，在朝廷里找到了立足点。难道西方找到了「弧弦互算」的公式吗？理论.上并没有，但实际.上已经够用，关键人物就是托勒密。