杨氏模量测定实验报告

杨氏模量测定实验报告

杨氏模量是材料力学中的一个重要参数，用于描述材料在弹性变形阶段的刚度。本文将详细介绍如何通过光杠杆法测定金属丝的杨氏模量，包括实验原理、仪器使用、操作步骤以及数据处理方法。

实验目的

1. 掌握用光杠杆测量微小长度变化的原理和方法，了解其应用。
2. 掌握各种长度测量工具的选择和使用。
3. 学习用逐差法和作图法处理实验数据。

实验仪器

MYC-1型金属丝杨氏模量测定仪（一套）、钢卷尺、米尺、螺旋测微计、重垂、砝码等。

实验原理

一、杨氏弹性模量

设金属丝的原长L，横截面积为S，沿长度方向施力F后，其长度改变ΔL，则金属丝单位面积上受到的垂直作用力F/S称为正应力，金属丝的相对伸长量ΔL/L称为线应变。实验结果指出，在弹性范围内，由胡克定律可知物体的正应力与线应变成正比，即

$$
\frac{F}{S} \propto \frac{\Delta L}{L}
$$

则

$$
\frac{F}{S} = E \cdot \frac{\Delta L}{L}
$$

比例系数

$$
E = \frac{F}{S} \cdot \frac{L}{\Delta L}
$$

即为杨氏弹性模量。它表征材料本身的性质，E越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。E的国际单位制单位为帕斯卡，记为Pa；1Pa = 1N/m²；1GPa = 10⁹Pa。

本实验测量的是钢丝的杨氏弹性模量，如果钢丝直径为d，则可得钢丝横截面积

$$
S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2
$$

则（2）式可变为

$$
E = \frac{4FL}{\pi d^2 \Delta L}
$$

可见，只要测出式（3）中右边各量，就可计算出杨氏弹性模量。式中L（金属丝原长）可由米尺测量，d（钢丝直径），可用螺旋测微仪测量，F（外力）可由实验中钢丝下面悬挂的砝码的重力F=mg求出，而ΔL是一个微小长度变化（在此实验中 ，当L≈１ｍ时，F每变化１ｋg相应的ΔL约为0.3ｍｍ）。因此，本实验利用光杠杆的光学放大作用实现对钢丝微小伸长量ΔL的间接测量。

二、光杠杆测微小长度变化

尺读望远镜和光杠杆组成如图2所示的测量系统。光杠杆系统是由光杠杆镜架与尺读望远镜组成的。光杠杆结构见图2（b）所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形。前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。尺读望远镜由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成。

1-金属丝 2-光杠杆 3-平台 4-挂钩 5-砝码 6-三角底座 7-标尺 8-望远镜
图1 杨氏模量仪示意图
（a） (b)
图2光杠杆

将光杠杆和望远镜按图2所示放置好，按仪器调节顺序调好全部装置后，就会在望远镜中看到经由光杠杆平面镜反射的标尺像。设开始时，光杠杆的平面镜竖直，即镜面法线在水平位置，在望远镜中恰能看到望远镜处标尺刻度n₀的象。当挂上重物使细钢丝受力伸长后，光杠杆的后脚尖A随之绕后脚尖B下降ΔL，光杠杆平面镜转过一较小角度θ，法线也转过同一角度θ。根据反射定律，从A处发出的光经过平面镜反射到C（C为标尺某一刻度）。由光路可逆性，从C发出的光经平面镜反射后将进入望远镜中被观察到。望远记

$$
n_1 - n_0 = \Delta n
$$

由图2可知

$$
\tan \theta = \frac{\Delta L}{b} = \frac{\Delta n}{D}
$$

式中，b为光杠杆常数（光杠杆后脚尖至前脚尖连线的垂直距离）；D为光杠杆镜面至尺读望远镜标尺的距离。由于偏转角度θ很小，即ΔL＜＜b，Δn＜＜D，所以近似地有

$$
\tan \theta \approx \theta
$$

则

$$
\Delta L = \frac{b \Delta n}{D}
$$

（4）

由上式可知，微小变化量ΔL可通过较易准确测量的b、D、Δn，间接求得。实验中取D＞＞b，光杠杆的作用是将微小长度变化ΔL放大为标尺上的相应位置变化Δn，ΔL被放大了

$$
\frac{D}{b}
$$

倍。

将（3）、（4）两式代入（2）有

$$
E = \frac{4FLD}{\pi d^2 b \Delta n}
$$

（5）

通过上式便可算出杨氏模量E。

实验内容及步骤

一、杨氏模量测定仪的调整

1. 调节杨氏模量测定仪三角底座上的调整螺钉，使支架、细钢丝铅直，使平台水平。
2. 将光杠杆放在平台上，两前脚放在平台前面的横槽中，后脚放在钢丝下端的夹头上适当位置，不能与钢丝接触，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。

二、光杠杆及望远镜镜尺组的调整

1. 将望远镜放在离光杠杆镜面约为1.5-2.0m处，并使二者在同一高度。调整光杠杆镜面与平台面垂直，望远镜成水平，并与标尺竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。
2. 调整望远镜

• 移动标尺架和微调平面镜的仰角，及改变望远镜的倾角。使得通过望远镜筒上的准心往平面镜中观察，能看到标尺的像；
• 调整目镜至能看清镜筒中叉丝的像；
• 慢慢调整望远镜右侧物镜调焦旋钮直到能在望远镜中看见清晰的标尺像，并使望远镜中的标尺刻度线的像与叉丝水平线的像重合；
• 消除视差。眼睛在目镜处微微上下移动，如果叉丝的像与标尺刻度线的像出现相对位移，应重新微调目镜和物镜，直至消除为止。

3. 试加八个砝码，从望远镜中观察是否看到刻度（估计一下满负荷时标尺读数是否够用），若无，应将刻度尺上移至能看到刻度，调好后取下砝码。

三、测量

采用等增量测量法

1. 加减砝码。先逐个加砝码，共八个。每加一个砝码(1kg)，记录一次标尺的位置n_i；然后依次减砝码，每减一个砝码，记下相应的标尺位置n'_i（所记n_i和n'_i分别应为偶数个）。
2. 测钢丝原长L。用钢卷尺或米尺测出钢丝原长（两夹头之间部分）L。
3. 测钢丝直径d。在钢丝上选不同部位及方向，用螺旋测微计测出其直径d，重复测量三次，取平均值。
4. 测量并计算D。从望远镜目镜中观察，记下分划板上的上下叉丝对应的刻度，根据望远镜放大原理，利用上下叉丝读数之差，乘以视距常数100，即是望远镜的标尺到平面镜的往返距离，即2D。
5. 测量光杠杆常数b。取下光杠杆在展开的白纸上同时按下三个尖脚的位置，用直尺作出光杠杆后脚尖到两前脚尖连线的垂线，再用米尺测出b。

数据记录及处理

1. 金属丝的原长L = 光杠杆常数 b = 6.5cm D =185mm
   下叉丝读数：8.8mm，上叉丝读数：12.5mm，则

2. 表1 测钢丝直径数据表

3. 表2 记录加外力后标尺的读数

其中n_i是每次加1kg砝码后标尺的读数，n_j(两者的平均)。

4. 用逐差法处理数据.
   本实验的直接测量量是等间距变化的多次测量，故采用逐差法处理数据。

计算出每增加一个1kg的的变化量，计算公式为:

$$
\Delta L_i = \frac{b}{D} \cdot \frac{n_i - n_{i-1}}{2}
$$

4.1 用逐差法处理数据如下：

$$
\Delta L_1 = \frac{b}{D} \cdot \frac{n_1 - n_0}{2}
$$

$$
\Delta L_2 = \frac{b}{D} \cdot \frac{n_2 - n_1}{2}
$$

$$
\Delta L_3 = \frac{b}{D} \cdot \frac{n_3 - n_2}{2}
$$

$$
\Delta L_4 = \frac{b}{D} \cdot \frac{n_4 - n_3}{2}
$$

将以上四个式子叠加并求平均值

$$
\Delta L = \frac{\Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_3 + \Delta L_4}{4}
$$

则可得到

计算中可取绝对值为

注：

为增重4kg时钢丝的伸长量。

计算结果如表2所示。

4.2 不确定度的计算

读数的不确定度：

金属丝直径：

代入数据可得到钢丝杨氏模量

作图法处理实验数据

略

分析与讨论

略

附另一参考数据

金属丝的原长L = 光杠杆常数 b = 7.7cm D =168mm

下叉丝读数：8.62mm，上叉丝读数：11.98mm

其中：