平面、空间直线参数方程下的切线斜率问题

平面、空间直线参数方程下的切线斜率问题

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/xl_1803/article/details/132521686

本文研究平面、空间直线在参数方程形式下，切线斜率（即导数）如何表示的问题。

设 $y = f(x)$，$x = \varphi(t)$，$y = \psi(t)$。当 $t = t_0$ 时，$x = x_0$，$y = y_0$，即点 $A$ 坐标为 $(x_0, y_0)$。

点 $A$ 处的导数 $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\psi(t_0 + \Delta t) - \psi(t_0)}{\varphi(t_0 + \Delta t) - \varphi(t_0)}$

$= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\psi(t_0 + \Delta t) - \psi(t_0)}{\Delta t} / \frac{\varphi(t_0 + \Delta t) - \varphi(t_0)}{\Delta t}$

$= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\psi(t_0 + \Delta t) - \psi(t_0)}{\Delta t} / \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\varphi(t_0 + \Delta t) - \varphi(t_0)}{\Delta t}$

$= \frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}$

因此点 $A$ 处的切线向量可表示为 $(\psi'(t_0), \varphi'(t_0))$。

而切线方程为 $y - y_0 = \frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}(x - x_0)$，即 $\frac{y - y_0}{\psi'(t_0)} = \frac{x - x_0}{\varphi'(t_0)}$。

同理可得空间直线的点向式方程为：

$\frac{y - y_0}{\psi'(t_0)} = \frac{x - x_0}{\varphi'(t_0)} = \frac{z - z_0}{\omega'(t_0)}$

如上图所示。