微分几何入门与广义相对论：矢丛上的联络和协变导数

微分几何入门与广义相对论：矢丛上的联络和协变导数

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/universsky2015/article/details/139816163

在物理学中，广义相对论是描述引力的理论。它的核心概念是时空曲率，即物质和能量的存在会导致时空的弯曲。在广义相对论中，引力被描述为时空的几何性质，而不是传统的牛顿引力理论中的力。为了描述时空的几何性质，我们需要使用微分几何的工具。矢丛是微分几何中的一个重要概念，它是一种将向量空间与几何对象（如曲面、曲线等）联系起来的结构。在广义相对论中，我们可以将时空看作是一个四维的向量丛，其中的向量是时空点上的切向量。矢丛上的联络和协变导数是描述时空曲率和引力相互作用的重要工具。在本文中，我们将介绍矢丛上的联络和协变导数的基本概念和原理，并通过一些实际的例子来解释它们的应用。

核心概念与联系

在这一部分，我们将介绍矢丛、联络和协变导数的基本概念。我们还将讨论它们之间的联系，并解释它们在广义相对论中的重要性。

矢丛

在数学中，一个矢丛是一个向量空间的纤维丛。在微分几何中，我们可以将一个光滑的流形$M$看作是一个向量空间的纤维丛，其中的向量是在流形上的切向量。一个矢丛$(E,\pi,M)$由一个向量空间$E$、一个投影映射$\pi:E\to M$和一个纤维$E_x$（对于每个$x\in M$）组成。在广义相对论中，我们可以将时空看作是一个四维的向量丛，其中的向量是时空点上的切向量。