线性代数：逆矩阵与克莱姆法则详解

线性代数：逆矩阵与克莱姆法则详解

前面我们讨论了矩阵与矩阵的加法、减法和乘法三种运算，那么，矩阵有没有除法呢？矩阵的除法又是如何定义的呢？回想一下数加减乘除的关系，我们说减法就是加法，是加上数的相反数，除法就是乘法，是乘以数的倒数. 倒数是怎样的数呢? 如果且，则为的倒数，并且记作。基于除法，一元一次方程，如果，等式两边同乘以，直接得到方程的解为.

现在的问题是：矩阵的所谓 "除法" 能不能像数的除法一样定义为，定义后是不是对于线性方程组，它的解也可以表示为?

本讲的任务是：首先给出逆矩阵的概念，然后讨论它的一些基本性质，在此基础上给出矩阵可逆和方程组解的存在性的判定方法，最后讨论了求解线性方程组的克莱姆法则。

一、逆矩阵与伴随矩阵的概念

1、逆矩阵的概念

定义1设是阶方阵，若存在阶方阵，使得，则称是可逆的，并称为的逆矩阵或的逆，并记作。即有

例1设，其中且，判断是否可逆，若可逆求.

【解】：设存在，使得，则

即解四个方程组成的两个方程组

当时，解得

因此. 即只要，则矩阵可逆，且

【注】：容易发现，所得逆矩阵计算公式中的矩阵的元素正好是矩阵中相应元素的代数余子式所构成的矩阵的转置，即

2、伴随矩阵

定义 2设为阶方阵，令为的行列式中元素的代数余子式，称矩阵为的伴随矩阵，记为，即是将按相同位置排列再做转置得到的矩阵:

定理1设为阶方阵，则

进一步有

(1)为可这矩阵当且仅当；

(2) 若为可逆矩阵，则。

【证明】：设

由矩阵乘法和行列式按行（列）展开的性质知

于是可得. 类似也可以得， 即

因此，若，则

故为可逆矩阵且。反之，若可逆，则存在使得，于是，即有.

例 2设是的伴随矩阵，试求.

【解】:由得，即. 由于

所以

【注】：行列式为 0 的方阵称为奇异矩阵，行列式不为 0 的方阵称为非奇异矩阵. 因此方阵可逆与方阵非奇异是等价的。

定理 2设为阶方阵，若存在阶方阵，使得或，则可逆，且的逆。

【证明】: 若，则有，从而，故可逆. 对两边同时左乘以，即得。

【注】这个性质说明，检验矩阵是否为的逆矩阵，只需要验证或者两个式子中一个就可以了，没有必要两个等式同时验证. 或者说，我们要求矩阵的逆矩阵，只要能够找到一个矩阵，使得或就可以了。这样不仅直接验证了矩阵可逆，而且。

例3设方阵满足，证明可逆，并求其逆矩阵。

【解】：改写已知等式，有

即。所以

【注】：对于类似于本例的问题，往往用类似于数的多项式的乘法或因式分解，对矩阵多项式乘以适当的因式或作因式分解，然后基于逆矩阵的定义与矩阵运算律可以同时解决逆阵的存在性并求得其逆矩阵的表达式。

二、可逆矩阵的性质

关于可逆矩阵还有如下一些性质:

(1)可逆矩阵一定是方阵，但方阵不一定可逆.

(2)若是可逆矩阵，则它的逆矩阵唯一。

【证明】：假设都是的逆矩阵，则有. 于是

即可逆矩阵的逆矩阵唯一。

(3)，设，则

(4)初等矩阵都是可迕矩阵，且

(5)与互为逆矩阵，即。

(6)若可逆，则也可逆，且。

【证明】：因为，故。

(7) 若可逆，，则也可逆，且.

(8)若可逆，则且。

(9)若与是同阶的可逆矩阵，则也可逆，且, 进一步有

【注】：上述性质也可以解读成矩阵的逆可以有作是矩阵的一种 "运算"，且求逆运算可与部分矩阵运算按照一定规则交换运算次序。

定理3设为阶矩阵，则下列各命题等价:

(1)矩阵是可逆的;

(2)齐次线性方程组只有零解;

(3)矩阵与是行等价的;

(4)矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积.

【证明】：设矩阵可逆且是的解，则方程等式两端乘以，得

即齐次线性方程组只有零解.

假设齐次线性方程组只有零解，设

其中为行阶梯形矩阵，则与同解。由于是方阵，故也为方阵，所以若有一对角元为零，则的最后一行元素全为零，这样同解于未知量个数多于方程个数的线性方程组，从而可知有非零解，这与假设矛盾. 因而行阶梯形矩阵的对角元全为非零，从而经过行初等变换可化为的简化行阶梯形矩阵是，即与是行等价的。

因为与是行等价，所以经过行初等变换可以得到，即存在初等矩阵，使得. 又初等矩阵可逆，故它们的乘积可逆，故在等式两端同时乘以，得

又故得

矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。

(4)设存在初等矩阵，使得，则由初等矩阵可逆可知矩阵可逆.

【注】（1）齐次线性方程组有非零解的充要条件是，即不可逆.

(2)设为阶矩阵，则非齐次线性方程组有惟一解的充要条件是可逆，即；

【证明】（1）由定理3直接可得。对于（2），充分性显然，因为可逆，则方程组两端同时乘以可得方程组有非零解. 反之，假设有惟一解，但不可逆，则有非零解。令，显然且

即也为的解，从而与有惟一解矛盾. 故可逆.

三、解线性方程组的 Grammer 法则

设由个方程组成、关于个未知数的线性方程组为

记

则线性方程组可表示为. 若系数行列式，即为可逆矩阵时，线性方程组有唯一解.

因且

故方程组的唯一解可写成

从行列式的视角对上述结果进行解读得为：系数行列式记为

定理4（Cramer 法则）对于线性方程组，若系数行列式，则方程组有唯一解:

其中是把的第列换成常数列所得到的行列式，即

【注】：(1) 用 Cramer 法则解线性方程组时必须具备两个前提条件：一是方程个数与未知量个数相等，即系数矩阵为方阵；二是系数行列式。

（2）优点：体现了行列式定义的合理性，揭示了解对系数和常数的依赖关系；同时指出当时，即系数矩阵可逆时，线性方程组有唯一解，并给出了简洁的记号来描述求解公式.

（3）缺点:适用范围窄，实际求解要计算个行列式，计算量大.

（4）对于非齐次线性方程组：若，有唯一解；若，线性方程组无解或者至少有两个不同解。对于齐次线性方程组：若，有唯一的零解；若，有非零解.

例 4设曲线通过四个点，用 Cramer 法则求系数.

【解】：将四个点的坐标代入曲线方程，得到关于系数的线性方程组

系数行列式为

由 Cramer 法则得，线性方程组有唯一解：

例5设齐次线性方程组

其中，试讨论为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多解时，求通解.

【解】：方程组的系数矩阵的行列式为

(1)且，方程组仅有零解.

(2)，对系数矩阵进行初等行变换，并注意到，

即得原方程组的同解方程组

取为自由未知数，即方程组的通解为

其中为任意常数.

(3)，对系数矩阵进行初等行变换并注意到，

于是，得到同解方程组

练习题

1、判断正误，并说明理由.

(1) 对于方阵，若，则一定有。

(2) 初等矩阵总是可逆的.

(3) 已知为阶方阵，且，则.

(4) 已知均为阶方阵，其中且，则是不可逆矩阵。

(5) 设是阶可逆矩阵，将的第行和第行对换后得到矩阵，则也可逆且.

(6) 设是阶非零方阵，且满足，则可逆.

2、选择题.

(1)设阶非零矩阵满足，则().

(A)不可逆，不可逆

(B)可逆，不可逆

(C)不可逆，可逆

(D)可逆，可逆

(2)设是 3 阶方阵，是的伴随矩阵，，则行列式的值为 () .

(A) 10(B) 21

(C) -22(D) -32

(3)设为阶可逆矩阵，交换的第 1 行与第 2 行得到矩阵分别是的伴随矩阵，则下列结论正确的是().

(A) 交换的第一列与第二列得

(B) 交换的第一行与第二行得

(C) 交换的第一列与第二列得

(D) 交换的第一行与第二行得

3、已知对于阶方阵，存在自然数，使得，试证明矩阵可逆，并写出其逆矩阵的表达式（为阶单位阵）。

4、(1) 设方阵满足，证明可逆.

（2）对满足（1）中条件的，若

求。

5、设阶方阵可逆，证明:

(1)。

(2)。

(3)。

(4)。

(5)。

(6)。

6、设是 3 阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式. 若，求的值。

7、证明：（1）如果可逆矩阵的元素均为整数，则的元素均为整数当且仅当(提示: 若的元素均为整数，则为整数)。

(2) 设为同阶方阵，且都可逆，证明可逆并求它的逆矩阵.

8、设，其中是阶单位矩阵，是维非零列向量，是的转置，证明:

(1)的充要条件是；

(2)当时，不是可逆矩阵.

9、参数为何值时，齐次线性方程组

有非零解.

10、如果阶可逆矩阵的每行元素和均为, 试证明:的每行元素的和均为.