用深度学习求解期权定价问题的实践：基于DGM模型的欧式看涨期权
用深度学习求解期权定价问题的实践：基于DGM模型的欧式看涨期权
在金融工程领域，期权定价是一个核心问题。传统的Black-Scholes模型虽然提供了欧式看涨期权的解析解，但在复杂市场环境下存在局限性。近年来，深度学习技术在金融领域的应用日益广泛，其中基于偏微分方程（PDE）的深度生成模型（DGM）展现出了强大的潜力。本文将介绍如何使用DGM模型来预测欧式看涨期权价格，并与经典的Black-Scholes解析解进行比较。
一、问题背景
期权是一种金融衍生品，欧式看涨期权允许持有人在到期时以执行价格（Strike Price）购买资产。Black-Scholes模型提供了该类期权价格的解析解。
二、DGM神经网络的构建
1. 网络结构设计
我们设计一个神经网络来近似解上面的Black-Scholes方程。网络的输入包括两个变量：时间t和资产价格S，输出为期权价格V(S, t)。
% 构建神经网络
layers = [ ...
featureInputLayer(2) % 输入: 时间 t 和资产价格 S
fullyConnectedLayer(numHiddenUnits)
reluLayer
fullyConnectedLayer(numHiddenUnits)
reluLayer
fullyConnectedLayer(1) % 输出: 期权价格 V(S, t)
regressionLayer]; % 添加回归层作为输出层
2. 边界条件与初始条件
欧式看涨期权的边界条件为：到期时期权价格等于资产价格与执行价格的差值或零。
payoff = @(S) max(S - K, 0); % 到期时的期权价格
3. 随机采样与输入数据
我们在时间和资产价格的空间内生成随机采样点，这些数据将作为神经网络的输入。网络将根据这些输入来预测期权价格，并通过自定义损失函数逐渐优化。
4. 损失函数的定义
自定义损失函数包括两个部分：Black-Scholes方程的残差和边界条件损失。我们通过自动微分计算神经网络预测值相对于时间和资产价格的一阶、二阶导数，并将这些导数代入到Black-Scholes方程中，计算方程残差。
function loss = computeDGMloss(net, X, sigma, r, K, payoff)
t = X(:, 1);
S = X(:, 2);
% 网络预测的 V(S, t)
V = predict(net, X);
% 计算 V_t (通过自动微分)
V_t = dlgradient(sum(V), t);
% 计算 V_S 和 V_SS (通过自动微分)
V_S = dlgradient(sum(V), S);
V_SS = dlgradient(sum(V_S), S);
% PDE 残差: Black-Scholes 方程
pde_residual = V_t + 0.5 * sigma^2 * S.^2 .* V_SS + r * S .* V_S - r * V;
% 边界条件损失
boundary_loss = mean((V(S == K) - payoff(S)).^2);
% 总损失
loss = mean(pde_residual.^2) + boundary_loss;
end
三、训练神经网络
我们使用Adam优化器进行网络训练，迭代次数为350次，隐藏层神经元数目为100，学习率为0.001。模型通过随机生成的资产价格和时间进行训练，并逐渐逼近期权价格的真实解。
四、结果分析与可视化
1. 预测结果与真实结果的比较
训练完成后，我们使用测试数据对神经网络进行预测，并将其与Black-Scholes解析解进行比较。
predicted_V = predict(net, input_test);
true_V = BlackScholesAnalytical(S_grid, T_grid, K, r, sigma);
2. 误差分析
我们计算了均方误差(MSE)、均绝对误差(MAE)、最大误差(Max Error)等评价指标，并绘制误差分布图。
结果展示
R²: 0.9960
均方误差 (MSE): 1.1077
均绝对误差 (MAE): 0.6463
最大误差 (Max Error): 4.5063
命中率 (Hitting Rate): 41.22%
五、总结
本文通过深度学习方法，构建了一个用于期权定价的DGM模型，并成功预测了欧式看涨期权的价格。通过与Black-Scholes解析解的比较，我们验证了模型的准确性和有效性。这种基于神经网络的求解方法为复杂的金融衍生品定价问题提供了一个新的方向。
未来的工作可以考虑将该方法应用于更复杂的金融产品，例如美式期权或跳跃扩散模型下的期权定价。