极限的夹逼定理及其应用

极限的夹逼定理及其应用

夹逼定理是高等数学中求解极限问题的重要工具，尤其在处理无法直接应用极限运算法则的函数或数列极限时，其作用尤为显著。本文将从夹逼定理的基本概念出发，通过具体实例，深入探讨其在不同类型极限问题中的应用方法。

什么是夹逼定理

夹逼定理的定义如下：

设函数 (g(x) \le f(x) \le h(x))，如果在自变量的同一变化过程中 (\lim g(x) = A, \lim h(x) = A)，则必有：

[
\lim f(x) = A
]

通俗来讲，就是：函数 (A \ge B)，函数 (B \le C)，函数 (A) 的极限是常数 (A)，函数 (C) 的极限也是 (A)，那么函数 (B) 的极限就一定是 (A)，这就是夹逼定理。

夹逼定理使用情况

夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则的函数或数列极限。例如以下极限：

[
① \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{10^n}{n!}
]

[
② \underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n}
]

[
③ \underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3}
]

[
④ \underset{n \to \infty}{\lim} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right)
]

这些极限问题不能通过一般方法求出，需要用到夹逼定理。

极限夹逼定理应用

由定义可知，夹逼定理的思维核心是“放大和缩小”，即把一个复杂的数列放大或缩小成简单的数列，并且要确保放大和缩小后的数列极限都存在且相等。以上四个例子可以分为三类：①一类、②③是一类、④是一类。

第一类极限夹逼定理应用

这类极限的特点是极限有 (n) 项相加，且都为分式。这类极限比较好缩放。具体缩放法是通过对分式的性质找到较大的 (G(n)) 和较小的 (h(n))。即对第一项和最后一项同时放大 (n^\alpha) 倍，此时较大项 (G(n)) 就是放大 (n^\alpha) 倍的第一项，较小项 (h(n)) 就是放大 (n^\alpha) 倍的最后一项。其中 (\alpha) 为分母同次幂，其作用是消除多余系数。

例1：

求 (\underset{n \to \infty}{\lim} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right)) 的极限

[
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \text{令} G(n) = \frac{n^2}{n^2 + \pi}, h(n) = \frac{n^2}{n^2 + n\pi} \
& \text{此时:} G(n) \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right) \ge h(n) \
& \text{则} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = 1, \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = 1 \
& \therefore 1 \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right) \ge 1 \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right) = 1
\end{aligned}
\end{equation*}
]

例2：

求 (\underset{n \to \infty}{\lim} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right)) 的极限

[
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \text{和上面一样, 对第一项和最后一项乘} n \
& \text{得} G(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}, h(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \
& \text{此时:} G(n) \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) \ge h(n) \
& \text{则} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = 1, \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = 1 \
& \therefore 1 \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) \ge 1 \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) = 1
\end{aligned}
\end{equation*}
]

总结：

1. 观察极限 ({a_n}) 首项和尾项
2. 通过对首项和尾项放大 (n^\alpha) 倍，(\alpha) 为分母同次幂。分别得到 (G(n)) 和 (h(n))
3. 分别对 (G(n)) 和 (h(n)) 求极限，相等即为 ({a_n}) 的极限值。

第二类极限定理应用

对于 (\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{10^n}{n!}) 这种极限相除形式，可以通过函数趋势变化解决。当 (x \to \infty) 时，基本初等函数趋势变化为：

[
\ln^{\alpha}x \le x^{\beta} \le a^x \le x! \le x^x \quad (\text{其中} \alpha > 0, \beta > 0, a > 1)
]

当 (x \to 0) 时，基本初等函数趋势变化为：

[
\ln^{\alpha}x \ge x^{\beta} \ge a^x \ge x! \ge x^x \quad (\text{其中} \alpha > 0, \beta > 0, a > 1)
]

注意：对数函数变化趋势越来越慢，幂函数相对平稳，指数函数变化趋势越来越快。(0! = 1)。

基本初等函数变化趋势图：

通过函数趋势我们就可以解决这类问题：

求 (\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{10^n}{n!}) 的极限

[
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \text{当} n \to \infty \text{时,} n! \text{趋势比} 10^n \text{快} \
& \text{即} x! \text{趋近于无穷大,} 10^n \text{还是一个常数} A \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \frac{10^n}{n!} = \frac{A}{\infty} = 0
\end{aligned}
\end{equation*}
]

总结：牢记函数变化趋势。

第三类极限夹逼定理应用

第三类极限 (\underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n}) 是多项式相乘，这种极限不能通过技巧解决。我们需要先判断极限值，再用夹逼定理解决。判断极限值方法还是通过极限变化趋势。

例1：

求 (\underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n}) 的极限

[
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \text{令原函数通项为} f(x) \text{由幂函数变化趋势我们可以得到} 1^n \le 2^n \le 3^n \
& \text{可以推测出极限值为} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n} = 3 \
& \text{由此可知} G(n) = \sqrt[n]{3^n + 3^n + 3^n} \ge f(x), h(n) = \sqrt[n]{3^n} \le f(x) \
& \therefore G(n) \ge \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n} \ge f(x) \
& \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 3^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} 3^{\frac{n+1}{n}} = 3, \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n} = 3 \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n} = 3
\end{aligned}
\end{equation*}
]

例2：

求 (\underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3}) 的极限

[
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \text{令原式通项为} f(x), \text{观察题目可知当} x \to \infty \text{时,} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3} = 1 \
& \text{由此可知} G(n) = \sqrt[n]{n^3 + n^3 + \ldots + n^3} = \sqrt[n]{n^4} \ge f(x) \
& \text{且} h(n) = 1 \le f(x) \
& \therefore G(n) \ge f(x) \ge h(n), \lim_{n \to \infty} G(n) = 1, \lim_{n \to \infty} h(x) = 1 \
& \text{即} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3} = 1
\end{aligned}
\end{equation*}
]

总结：

1. 大胆猜想极限值。
2. 小心谨慎求证。

结尾

以上仅仅是三类题型介绍，我们面对问题时还是要具体问题具体分析。如：(\underset{n \to \infty}{\lim} \left( \frac{1}{n^2 + n + 1} + \frac{2}{n^2 + n + 2} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n + n} \right)) 极限。显然此时在两边同时乘 (n) 或 (n^2)，不能消掉通项。关于这类问题，以后再说。