奇函数与偶函数:定义、性质及实例解析
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奇函数与偶函数:定义、性质及实例解析
引用
CSDN
1.
https://blog.csdn.net/nvd11/article/details/144521937
奇函数的定义
对于函数f(x),如果x在f(x)的定义域内,且对于任意x都有f(-x) = -f(x),那么f(x)是奇函数。数学表达式为:
f(-x) = -f(x), x ∈ D(f)
奇函数的图像关于原点对称。
奇函数的例子
1. 一次线性函数
例如f(x) = 2x
需要注意的是,f(x) = 2x + n (n ≠ 0)并不是奇函数。因为f(-1) = -2 + n和f(1) = 2 + n并不是相反的值。
2. 三次函数f(x) = x^3
这个函数显然满足奇函数的定义。
3. 反比例函数f(x) = x^-1
4. 正弦函数f(x) = sin(x)
正弦函数的波浪线关于原点对称。
偶函数的定义
对于函数f(x),如果x在f(x)的定义域内,且对于任意x都有f(-x) = f(x),那么f(x)是偶函数。数学表达式为:
f(-x) = f(x), x ∈ D(f)
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的例子
1. 二次函数f(x) = x^2
需要注意的是,f(x) = x^2 + n (n ≠ 0)仍然是偶函数,因为函数图像上下移动一段距离仍然关于y轴对称。但是f(x) = (x + n)^2 (n ≠ 0)就不是偶函数了,因为左右移动会破坏对称性。
2. 绝对值函数f(x) = |x|
3. 余弦函数f(x) = cos(x)
余弦函数可以看作是将正弦函数的图像向左移动半个周期(π/2)得到的。这种移动使得函数由原点对称变为y轴对称,由奇函数变为偶函数,由正弦函数变为余弦函数。
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