奇函数与偶函数：定义、性质及实例解析

奇函数与偶函数：定义、性质及实例解析

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/nvd11/article/details/144521937

奇函数的定义

对于函数f(x)，如果x在f(x)的定义域内，且对于任意x都有f(-x) = -f(x)，那么f(x)是奇函数。数学表达式为：

f(-x) = -f(x), x ∈ D(f)

奇函数的图像关于原点对称。

奇函数的例子

1. 一次线性函数

例如f(x) = 2x

需要注意的是，f(x) = 2x + n (n ≠ 0)并不是奇函数。因为f(-1) = -2 + n和f(1) = 2 + n并不是相反的值。

2. 三次函数f(x) = x^3

这个函数显然满足奇函数的定义。

3. 反比例函数f(x) = x^-1

4. 正弦函数f(x) = sin(x)

正弦函数的波浪线关于原点对称。

偶函数的定义

对于函数f(x)，如果x在f(x)的定义域内，且对于任意x都有f(-x) = f(x)，那么f(x)是偶函数。数学表达式为：

f(-x) = f(x), x ∈ D(f)

偶函数的图像关于y轴对称。

偶函数的例子

1. 二次函数f(x) = x^2

需要注意的是，f(x) = x^2 + n (n ≠ 0)仍然是偶函数，因为函数图像上下移动一段距离仍然关于y轴对称。但是f(x) = (x + n)^2 (n ≠ 0)就不是偶函数了，因为左右移动会破坏对称性。

2. 绝对值函数f(x) = |x|

3. 余弦函数f(x) = cos(x)

余弦函数可以看作是将正弦函数的图像向左移动半个周期（π/2）得到的。这种移动使得函数由原点对称变为y轴对称，由奇函数变为偶函数，由正弦函数变为余弦函数。