柯西-施瓦兹不等式详解：从定义到应用
柯西-施瓦兹不等式详解：从定义到应用
柯西-施瓦兹不等式是数学中一个非常重要且应用广泛的不等式，它在多个数学分支中都有其独特的表现形式。从线性代数到泛函分析，再到概率论，这个不等式都扮演着核心角色。本文将从内积空间的基本概念出发，逐步深入探讨柯西-施瓦兹不等式的内涵及其在不同数学空间中的具体表现。
一、一般形式
先来说下什么是内积，这里仅考虑实线性空间上的内积，设V是实线性空间，在其上定义内积运算$(\cdot,\cdot): V \times V \to R$，即$\forall x,y \in V,; \exists$唯一的元素$(x,y) \in R$与之对应，称为$x$与$y$的内积，且满足以下性质：
- $(x,x)\geq0 ,,且,, (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0$
- $(x,y)=(y,x)$
- $(ax,z)=a(x,z),,a \in R$
- $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$
柯西-施瓦兹不等式：
$$(a,b)^2\leq(a,a)(b,b)$$
上面就是大名鼎鼎的柯西施瓦兹不等式了，但看不出来它在说什么.
二、解释
首先，可以根据内积定义向量的长度：$\Vert x\Vert=\sqrt{(x,x)}$.
对不等式两边开根号，得$\vert(a,b)\vert\leq \Vert a\Vert\Vert b\Vert$
好吧，还是看不出来它在说什么
不妨设$b\neq0$，$b=0$时不等式显然成立.
$\because b\neq0,\therefore \Vert b\Vert\neq0$，不等式两边同时除以$\Vert b\Vert$，得$\frac{\vert(a,b)\vert}{\Vert b\Vert}\leq \Vert a\Vert$
这时应该能看出来一些东西了，好像是在比较两个向量的长度. 但左侧是哪个向量的长度呢？下面来回答这个问题.
因为$b\neq0$，所以可以将其扩充为空间中的一组正交基，然后对向量$a$进行正交分解，如图所示.
(注：这是一个侧视图)
则$a$可以表示为$a=kb+u$其中$u$与$b$垂直，即$(u,b)=0$.
两边同时与$b$作内积，得$(a,b)=k(b,b)+0$
则$a=\frac{(a,b)}{(b,b)}b+u$
令$v=\frac{(a,b)}{(b,b)}b$
则$v$的长度$\Vert v\Vert=\frac{\vert(a,b)\vert}{\Vert b \Vert}$
所以，不等式可以这么理解：向量$a$在向量$b$方向上投影的长度小于等于向量$a$自身的长度.
三、证明
证法1：
$$
\begin{aligned}
\Vert a\Vert^2&=(a,a)\
&=(kb+u,kb+u)\
&=(kb,kb)+2k(b,u)+(u,u)\
&=(kb,kb)+(u,u)\
&=(v,v)+(u,u)\
&=\Vert v\Vert^2+\Vert u\Vert^2 \
& \geq \Vert v\Vert^2 \
\therefore \Vert a\Vert^2 & \geq \Vert v\Vert^2,\Vert a\Vert \geq \Vert v\Vert\
\therefore \Vert a\Vert &\geq \frac{\vert(a,b)\vert}{\Vert b\Vert}
\end{aligned}
$$
不等式成立.
证法2：
若$a=0$，不等式显然成立；
否则，考虑$(ta+b,ta+b) = (a,a)t^2+2(a,b)t+(b,b)\geq0$
将其看作是关于$t$的二次函数，则有$\Delta=4(a,b)^2-4(a,a)(b,b)\leq0$
所以$(a,b)^2\leq(a,a)(b,b)$，当且仅当$ta+b=0$时，“=” 成立.
四、特殊形式
- $R^n$中
设$a=(a_1,a_2,\cdots,a_n),b=(b_1,b_2,\cdots,b_n),a,b \in R^n$，则
$$(a,b)^2=(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2\leq(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)=(a,a)(b,b)$$
当且仅当$a=\lambda b$时，“=” 成立.
- $l^2$中
设$a=(a_1,a_2,\cdots),b=(b_1,b_2,\cdots),,a,b \in l^2$，即
$$(\sum_{i=1}^{\infin} \vert a_i\vert^2)^{\frac{1}{2}}<\infin,,,(\sum_{i=1}^{\infin} \vert b_i\vert^2)^{\frac{1}{2}}<\infin$$
则
$$(a,b)^2=(\sum_{i=1}^{\infin}a_ib_i)^2\leq(\sum_{i=1}^{\infin}a_i^2)(\sum_{i=1}^{\infin}b_i^2)=(a,a)(b,b)$$
当且仅当$a=\lambda b$时，“=” 成立.
- $L^2[a,b]$中
设$f,g \in L^2[a,b]$，即
$$\int_{[a,b]}f^2(x)dx < \infin,,,\int_{[a,b]}g^2(x)dx < \infin$$
则
$$(f,g)^2=(\int_{[a,b]}f(x)g(x)dx)^2\leq(\int_{[a,b]}f^2(x)dx)(\int_{[a,b]}g^2(x)dx)=(f,f)(g,g)$$
当且仅当$tf(x)+g(x)\equiv0$时，“=” 成立.
- 概率空间中
设$\xi_1,\xi_2$为两个随机变量，则
$$(E(\xi_1\xi_2))^2\leq E(\xi_1^2)E(\xi_2^2)$$
当且仅当$P\lbrace t\xi_1+\xi_2=0\rbrace=1$时，“=” 成立.