麻将信息集公式的推导：从基础概念到完整计算

麻将信息集公式的推导：从基础概念到完整计算

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/sinat_37574187/article/details/145748598

麻将作为中国传统博弈游戏，其复杂性不仅体现在丰富的规则和策略上，更在于其庞大的信息空间。本文将深入探讨麻将信息集公式的推导过程，通过数学建模的方式揭示麻将游戏的内在结构。

1. 公式的含义与背景

在麻将中，信息集指的是游戏过程中所有可能的状态集合，包括玩家的手牌、公共牌池、未知牌的分布等所有信息。麻将的复杂性来源于隐藏信息（其他玩家的手牌和牌山中的牌），因此信息集是个非常庞大的集合。

公式：

公式分为以下几个部分，分别表示：

1. 玩家手牌的组合数：从136张牌中抽取13张。
2. 可能的隐藏牌分布：牌山（剩余牌）的排列组合，考虑到每张牌的种类。
3. 玩家的行动序列：包括打牌、吃牌、碰牌等操作的可能性。

我们逐步解释每一部分的来源和推导。

2. 玩家手牌的组合数

(1) 从136张牌中抽取13张

每个玩家在开始时有13张手牌，这些牌从136张牌的牌堆中抽取。抽取的组合数用组合公式表示为：

这个数值表示所有可能的13张手牌组合，是整个信息集计算的第一步。

(2) 为什么不考虑顺序？

麻将中，手牌的排列顺序不影响游戏规则，因此我们只关心哪13张牌被抽到，而不关心这些牌的顺序。因此选择用组合（而非排列）来计算手牌的可能性。

3. 隐藏牌的排列组合

麻将有34种牌型（1万到9万，1条到9条，1筒到9筒，以及东南西北中发白），每种牌有4张，总计136张牌。游戏过程中，除了玩家的手牌，剩下的牌（称为牌山）是隐藏的，牌山的排列和分布构成了信息集的重要部分。

(1) 剩余牌的分布

• 假设玩家的手牌已经确定，那么剩下的牌可以有不同的排列方式。
• 由于麻将的每种牌最多出现4次，可以用34种牌的分布来描述牌山。例如：
• 如果1万出现了2次，2万出现了1次，3万出现了3次，依此类推。

(2) 隐藏牌的分布公式

隐藏牌的分布可以用指数的形式表示。假设每种牌的分布次数可以从0到4（每种牌最多有4张），则所有可能的分布组合数为：

• 解释每一项：
• 34^4 表示所有牌型都只出现4张的情况。
• 34^8 表示所有牌型出现不同次数（例如一些牌型只出现3张）的情况。
• 34^{80} 是一种极端情况，描述所有牌型的复杂排列。

(3) 为什么是累加？

在实际游戏中，不同的牌型分布对信息集的复杂性有不同的贡献，因此需要计算所有可能的牌型分布组合数，并累加起来。

4. 玩家行动序列

麻将的行动序列是游戏复杂性的重要来源之一。每个玩家在轮到自己时有可能执行以下操作：

• 打出一张牌。
• 吃牌、碰牌、杠牌等。
• 根据手牌和规则决定不同的策略。

(1) 每位玩家的行动选择数

假设每位玩家的行动空间有7种可能性（如打牌、吃牌、碰牌等），且行动的组合数可以表示为 7^3。这是因为：

• 3是玩家数量减1（即其他3名玩家可能的行动）。
• 7是行动的可能性。

(2) 为什么是乘法？

每位玩家的行动序列相互独立，因此需要将每位玩家的可能性相乘，最终得到所有可能的行动序列。

5. 整体公式的推导

将上述每一部分综合起来，麻将的总信息集公式为：

(1) 含义分解：

• C13613 ：表示玩家手牌的组合数。
• (1+344+⋯+3480)：表示隐藏牌（牌山）的分布组合数。
• 7^3：表示所有玩家行动序列的可能性。

(2) 数值近似：

• C13613≈1.21×10^23
• (1+344+⋯+3480)≈10^117
• 7^3=343

最终计算结果为：

I≈5.48×10^142

这个值表示麻将游戏的完整信息集的规模，是一个非常庞大的数值，说明麻将的复杂性极高。

6. 总结

麻将信息集公式的推导表明：

1. 手牌组合数C13613 是信息集的基础。
2. 隐藏牌的分布是麻将复杂性的主要来源，用 1+344+⋯+3480 表示。
3. 玩家的行动序列用 7^3 表示可能的决策路径。
4. 最终的规模是 5.48×10^142，反映了麻将作为博弈的极高复杂性。

理解这一公式，有助于我们深入认识麻将作为一个博弈问题的数学结构和挑战。

为什么每位玩家的行动空间有 7种可能性

在麻将中，玩家的行动空间是指每位玩家在轮到自己时，根据当前的牌局状态和规则可以做出的所有合法选择。具体到公式中提到的 "每位玩家的行动空间有 7 种可能性"，这是对麻将实际规则的一种简化建模。

以下是详细解释：

1. 玩家在麻将中的常见行动

麻将的规则决定了玩家在每个回合可能执行的几种主要操作。通常，这些行动包括：

1. 摸牌：从牌山中摸一张牌（如果是自己的回合）。
2. 打牌：将手牌中的一张牌打出。
3. 吃牌：如果上家打出的牌满足条件，可以用自己的手牌组成顺子（如4万接345万）。
4. 碰牌：如果另一玩家打出的牌能组成刻子（如已有两张5筒，对方打出5筒），可以碰。
5. 杠牌：如果手中有三张相同的牌，或者碰之后又摸到第四张相同的牌，可以杠。
6. 胡牌：如果手牌满足胡牌条件，可以选择胡牌。
7. 过（跳过行动）：放弃当前可以执行的操作（比如不吃、不碰、不胡）。

因此，总共可以归纳为 7 种主要行动：

• 摸牌
• 打牌
• 吃牌
• 碰牌
• 杠牌
• 胡牌
• 过

2. 为什么选择 7 种可能性？

(1) 麻将规则的建模简化

在实际麻将游戏中，玩家的行动可能受到具体局势的限制。例如，在某些情况下：

• 可能没有牌可以吃、碰或杠。
• 可能还未达到听牌状态，无法胡牌。

但是，在计算信息集时，我们需要考虑理论上的所有可能性，即在任何一个回合中，玩家可能有的完整选择集合。因此，这里将所有可能的行动笼统地归纳为 7 种。

(2) 动作的独立性

虽然某些行动在实际游戏中不会同时发生（例如，摸牌和吃牌是互斥的），但在信息集的计算中，我们将这些动作视为独立的可能操作，以便涵盖所有情况。这种建模方式便于计算操作路径的复杂性。

(3) 简化分析的需要

麻将的实际行动空间可能比 7 种更复杂，比如：

• 打牌时有 13 张不同的手牌可以选择。
• 吃牌可能有多个组合（如4万可以接345万或234万）。
• 杠牌可能有暗杠、明杠的区分。

然而，在信息集公式的推导中，为了简化分析，我们不细分具体动作的细节，而是将所有可能的选择抽象为 7 个“主要类别”。

3. 适用于所有玩家的行动空间

麻将是一个四人游戏，当轮到一个玩家时，其行动选择不仅影响自己的状态，还会影响其他玩家的选择。因此，将每位玩家的行动空间归纳为 7 种操作，可以很好地描述整个游戏的动态变化。

在公式中，信息集的行动部分写作：

7^3

这表示：

• 假设当前玩家的行动有 7 种选择。
• 其余 3 名玩家的行动依赖于当前玩家的行为，每人也有 7 种可能性。
• 总的行动组合数为 7^3 = 343。

4. 为什么不将行动细化更多？

细化玩家的行动空间会显著增加计算复杂性。例如：

• 打牌时的选择：一个玩家可能有 13 张手牌，每张牌都可以打出，理论上有 13 种选择。
• 吃牌的选择：如果有多个吃法（如4万可以接345万或234万），需要分别计算。
• 杠牌的选择：明杠和暗杠的不同情况也需要分别考虑。

如果将这些细节都纳入计算，信息集的公式将变得极为庞大且难以解析。因此，为了简化推导和表示，公式中只关注每位玩家的“操作类型”，并将其归为 7 类。

5. 总结

麻将中的 "每位玩家的行动空间有 7 种可能性" 是一种简化建模，归纳了麻将游戏中所有可能的行动类型，包括：

1. 摸牌
2. 打牌
3. 吃牌
4. 碰牌
5. 杠牌
6. 胡牌
7. 过

虽然实际游戏中可能并不是每种行动都随时可行，但在信息集公式的推导中，我们需要计算所有理论上的可能性，因此统一考虑 7 种行动类别。这种简化方法既能全面涵盖麻将的动态变化，又便于公式的计算和分析。