对网传河北省2024年高考物理卷第10题回形磁场粒子轨迹的可视化解析
对网传河北省2024年高考物理卷第10题回形磁场粒子轨迹的可视化解析
引言
近日，有河北老师私信笔者，希望笔者能对河北省2024年高考物理卷中的第10题、即电荷在回形磁场中的偏转问题进行分析，给出电荷在回形磁场种偏转90°后射出的轨迹图。
笔者长期开展数字技术与高中物理教学的融合研究，对这类试题作可视化分析探讨，还是有两把刷子的，无论是几何画板还是WM，都有成功的先例。
但是，此次笔者内心还是有些担忧，如果得出的结论与网传答案不一致，而网传答案恰好又是真的，那就十分被动。
网传高考真题展播与解析
分析与解
对于该题而言，A选项显然是对的。如甲图所示，当粒子穿过ad边时，如果速度方向与ad边夹角为45°，则粒子在空心方块中运动轨迹必然与BD连线垂直，由对称性可知，粒子的完整轨迹必然关于BD连线对称。所以粒子必然从C点垂直于BC射出。
对于该题而言，D选项显然是对的。如丙图所示，当粒子穿过ad边时，如果速度方向与ad边夹某一角度，且经过bc边垂直于BC边射出，则将两段圆弧衔接在一起，将得到一个90°的圆弧；由两段圆弧的水平宽度相等，两段圆弧的水平宽度之和等于轨迹半径，可得速度方向与ad边的夹角必然为60°。
笔者关心的是，除了以上两种情况，是否存在第三可能性。
参考答案中对B选项和C选项的分析很不严谨，十分武断。
基于几何画板的深度分析
研究电荷在磁场中的运动，几何画板和WM都可以，但是各有所长。WM非常适合做电荷在磁场中的运动过程研究，但是磁场的边界条件设置非常繁琐，常常令人崩溃。几何画板非常适合研究电荷在磁场中的运动轨迹族，而且轨迹族谱还能随着磁场边界条件和磁感应强度的变化而变化，能够观察出很多鲜为人知的细节，非常适合研究该题。
笔者利用几何画板对传河北省2024年高考物理卷回形磁场试题进行了深度分析，得出的结论十分意外。
4.1 粒子依次穿越ad边和cd边、最后从C点垂直BC边射出的条件
若设外框边长为L，内框边长为l，设内框边长l为变量，分析发现，粒子以45°角穿越ad边时，由对称性可知，粒子的完整轨迹Ⅰ必然关于对角线BD对称，所以粒子必然经过C点，沿着与BC垂直的方向射出。
图1 轨迹Ⅰ精确作图
4.2 粒子依次穿越ad边、bc边和BC、最后垂直BC边射出的条件
当粒子穿过ad边时，如果速度方向与ad边夹某一角度，且经过bc边垂直于BC边射出，则将两段圆弧衔接在一起，将得到一个90°的圆弧；由两段圆弧的水平宽度相等，两段圆弧的水平宽度之和等于轨迹半径，亦等于L-l。故可解得速度方向与ad边的夹角必然为60°。
图2 轨迹Ⅱ精确作图
4.3 粒子依次穿越ad边、cd边和BC、最后垂直BC边射出的条件
当粒子穿过依次穿过ad边、cd边和BC边时，虽然两段圆弧衔接起来仍然是90°的圆弧，但是圆弧的半径不再等于L-l。轨迹半径R与内方边长l的约束方程如下
该方程组可转化为一个一元四次方程，考生考场手工求解难度极大，因此也最容易漏解。
笔者利用数学软件mathematics解得该方程组有四个解，分别如下
经过检验，符合条件的有两个解，即
经过进一步分析，轨迹半径R32对应的恰好是轨迹Ⅰ，而轨迹半径R33恰好对应的是轨迹Ⅲ。
图3 轨迹Ⅲ精确作图
结论
5.1 三种轨迹特征族谱
研究发现：除了参考答案中给定了轨迹Ⅰ和轨迹Ⅱ之外，还有符合题意的轨迹Ⅲ，三种轨迹的特征族谱如图4所示。
图4 三种轨迹特征族谱精确作图
5.2 三种轨迹各自存在的范围
研究发现：三种轨迹的存在范围各不相同，以l/L为变量，可得轨迹Ⅰ的存在条件最宽，其次是轨迹Ⅱ，存在范围最狭窄的是轨迹Ⅲ，十分隐蔽，求解难度大，因此也最容易漏解。
图5 三种轨迹存在范围与内边长l的关系
5.3 三种轨迹各自对应的ad边入射角
研究发现：轨迹Ⅰ过ad边时的入射角恒为45°。轨迹Ⅱ过ad边时的入射角恒为60°。轨迹Ⅲ过ad边时的入射角在45°~60°之间；当轨迹Ⅲ过ad边时的入射角取45°时，轨迹Ⅲ与轨迹Ⅰ重合；当轨迹Ⅲ过ad边时的入射角取60°时，轨迹Ⅲ与轨迹Ⅱ重合。
图6 三种轨迹穿越ad边角度与内边长l的关系
河北省2024年高考物理卷第10题逐项分析
A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出
判断结果：√
B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出
判断结果：√
解释：如果粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，粒子必然穿过bc边；如果粒子穿过了cd边，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角在45°~60°之间；只要粒子穿过bc边，且垂直于BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必然为60°
参考解析中认为，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，还能穿过cd边，继而排除B选项，这种认识是错误的。因为实际上这种可能性不存在。
照此分析，B选项正确。
C.若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
判断结果：×
解释：粒子穿过cd边、BC边并垂直BC边射出时，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角在45° ~60°之间均可取值。
参考解析中认为“粒子穿过cd边、BC边并垂直BC边射出时，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角一定为45°，不存在其他可能情况”的观点是不符合实际的。
照此分析，C选项错误。
D.若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
判断结果：√
解释：只要粒子穿过bc边且垂直BC边射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°；如果粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为不是60°，且垂直BC射出，粒子必然穿过cd边。
综上所述，该题的正确答案应该是ABD，而不是网传的答案ACD。
教学反思
该题中的轨迹Ⅲ处于被人遗忘的角落，在当下大规模、高强度、机械化刷题模式下很难被发现。在一线教学中，常常存在思维定势和认知局限，认为“粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角45°时已经垂直于BC边射出”，就得出了“不可能再出现其他符合题意的情景”的错误判断。
这其实是长期的大规模、高强度、机械化刷题导致的恶果，学生死记典型试题、物理模型和解题套路、探索意识匮乏，认知狭隘，思维僵化。
如果网传答案是真实的，这则意味着命题组也很可能受到了同类思维定势和认知局限的影响。从对轨迹Ⅲ求解过程的极高难度来看，轨迹Ⅲ很可能是命题组预料之外的存在。
当然，鉴于轨迹Ⅲ求解的极高难度，笔者在此大胆推断，在河北几百万考生当中，除了猜、蒙、碰以外，能真正分析推理出轨迹Ⅲ并选择ABD的，应该不大可能存在。