反常积分：定义、性质与应用
反常积分：定义、性质与应用
第四节 反常积分
反常积分，或称为广义积分，处理的是被积函数在无限区间或在某些点无界的积分。这类积分超出了定积分的范围，但通过适当的极限过程，可以给出这些积分的数学意义。
一、无穷限的反常积分
定义与基本概念
当积分区间为无穷大时，例如，考虑积分区间从 (a) 到 (\infty) 的情形，我们定义函数 (f(x)) 在区间 ((a,\infty)) 上的反常积分如下：
这个定义依赖于极限的存在性。如果这个极限存在，我们称反常积分收敛；如果不存在，我们称它发散。
收敛性
如果函数 (f(x)) 在区间 ((a,\infty)) 上连续，并且上述极限存在，那么我们说反常积分 (\int_a^\infty f(x)dx) 收敛。如果极限不存在，反常积分发散。
示例
例如，考虑积分 (\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx)，通过计算我们可以得到：
这个积分收敛，并且其值为 1。
二、函数在无限区间上的反常积分
对于函数 (f(x)) 在区间 ((-∞,b)) 上的反常积分，定义为：
示例
考虑积分 (\int_{-∞}^0 e^x dx)，它等于：
这个积分也收敛，并且其值为 1。
三、无限区间上的反常积分
对于函数 (f(x)) 在整个实数轴上的反常积分，定义为两个单独的反常积分之和：
如果两个单独的积分都收敛，整个积分被称为收敛的；如果任何一个积分发散，整个积分被认为是发散的。
示例
考虑标准正态分布的概率密度函数 (f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2})，其在整个实数轴上的积分为 1，显示了反常积分的应用在概率论中的重要性。
通过反常积分，数学家能够处理一系列复杂的实际问题，例如物理中的无穷势能问题和概率论中的分布函数。这些积分虽然在技术上更加复杂，但是它们提供了对无穷和无界行为的深刻理解。
第五章 定积分
第四节 反常积分：无界函数的反常积分
定义和概念
反常积分处理的是那些在积分区间内被积函数无界或积分区间无限的情况。特别是，我们关注被积函数在某些点成为无界的情况，这些点通常称为瑕点或无界间断点。
瑕积分的定义
如果函数 (f(x)) 在除了点 (a) 以外的区间 ((a,b)) 上连续，并且在 (a) 点无界，那么 (a) 称为瑕点。对于这种情况，定义 (f(x)) 在区间 ((a,b)) 上的瑕积分如下：
如果这个极限存在，则称反常积分收敛；否则称之为发散。
示例和收敛性讨论
例1：考虑积分 (\int_0^1 \frac{1}{x}dx)，其中 0 是瑕点，因为函数在 (x=0) 处无界。通过计算极限，我们可以求得该积分的值：
此积分收敛。
瑕点的双重存在
如果函数 (f(x)) 在区间 ((a,c)) 和 ((c,b]) 上连续，并且在点 (c) 无界，那么反常积分 (\int_a^b f(x)dx) 定义为两个瑕积分的和：
如果两个瑕积分均收敛，则整体积分收敛；如果任一瑕积分发散，则整体积分发散。
应用牛顿-莱布尼茨公式
在计算反常积分时，如果能找到被积函数的原函数 (F(x))，并且该原函数在无穷或瑕点处的极限存在，则可以利用牛顿-莱布尼茨公式来计算反常积分。例如：
如果这些极限存在，则反常积分的值可由上式直接得出。
结论
无界函数的反常积分为我们提供了处理在实际应用中常见的无界行为的一种数学手段。虽然计算上可能较为复杂，但这些积分在物理、工程和经济学等领域的应用证明了它们的重要性。通过适当的极限过程，我们能够给出这些问题的精确或近似解。