对应分析：把数据关系可视化

对应分析：把数据关系可视化

对应分析是一种探索性多元统计分析方法，主要用于分析定类变量之间的关系。它通过将行、列变量的交叉表变换为一张散点图，直观地展示变量不同类别间的联系。本文将详细介绍对应分析的概念、分类、应用场景、前提条件、局限性以及具体操作步骤。

概念描述

抽象描述

对应分析法（同质性分析或数量化方法）是一种探索性多元统计分析方法，主要用于分析定类变量之间的关系。它通过二维平面展现几组看不出联系的数据，实现数据关系的可视化。

具象描述

对应分析将行、列变量的交叉表变换为一张散点图，把表格中包含的关联信息用散点空间位置关系的形式表现出来。具体来说，就是将交叉表里面的频数数据作变换以后，利用散点图方式，直观地解释变量不同类别间的联系。

另外一种说法就是将交叉表里面的频数数据作变换以后，利用散点图方式，直观地解释变量不同类别间的联系。

（无兴趣可忽略）
对应分析的原理在于首先将数据降维，然后将具体数值点投影到维度空间中；维度只是个数学上的概念，并无实际名字意义，通俗理解为将‘关系’浓缩成‘几个维度’，比如将‘差异’关系浓缩成‘2个维度’。绝大多数情况下，对应分析只需要建立2个维度，因为这样只需要投影出一个对应图便于实际分析；如果维度个数超过2个，那么则会出现很多个对应图，这样会加大实际分析的难度。

分类类别

• 简单对应分析（CA）：两个分类变量间的联系
• 多重对应分析（MCA）：多个分类变量间的联系
• 均值对应分析：对应分析家族的“异类”

多重对应分析的原理和简单对应分析略有不同，当多重对应分析只分析2个变量时，得到的结果可能和简单对应分析不完全一样，但趋势是一致的。

应用场景

应用场景非常广泛，以市场研究为例：品牌形象的测定&消费者市场细分研究是较为常见的研究方向。

前提条件

1. 数据类型：基本以无序分类数据为主。
2. 假设检验：数据之间有着差异关系（两两之间具有差异性）是前置条件，变量纳入前先做卡方检验，只有具有相关性，才有必要作对应分析。具体P值的界值为多少才合适并无统一的标准，一般如果P值大于0.2，则没必要进行对应分析；如果在P值在0.05~0.2之间，可以考虑进行对应分析，但对结果的解释仍需要慎重。
3. 样本量：对极端值敏感，分析时有必要去除频数过少的单元格；对于小样本不推荐使用。
4. 无量纲化：各变量应具有相同的量纲（或者均无量纲）。
5. 控制变量量：变量不要太多，因为只用两维图解释信息损失太多；多重对应分析的变量数越多，越容易出错，不建议分析太多变量，经验来说一般最多3-4组变量为上限（解释不通时/和TGI有矛盾时减少变量）。
6. 谨慎放入变量：需要针对数据含义和业务知识对变量纳入可行性进行初步判断。

局限性

1. 不能进行假设检验：其本质仍然只是一种描述方法，无法在统计上对变量间联系加以确认。因此在结果解释上需要谨慎，正式分析之前一定要采用卡方检验等方法进行预分析，筛除实际上无关的变量。将得到的图形结果和原始数据反复对照，以确保结论的正确性。
2. 不能自动判断最佳维度数：需要研究者对提取的维度数量进行制定。一般提取二维或三维最为常见，能够较好的平衡信息量和易读性，如果解释困难，则需要考虑加入新维度来完善结果解释。
3. 存在数据信息丢失：对应分析输出的图形通常是二维的，这是一种降维的方法，将原始的高维数据按一定规则投影到二维图形上。而投影可能引起部分信息的丢失。

SPSS操作

简单对应分析

1. 数据输入及预处理

• step1：设置为数值型名义变量
• step2：以频数变量进行加权

2. 选取分析方法

• 选择“分析”-“降维”-“对应分析”，定义行/列变量及其取值范围，单击“更新”按钮。
• 一般默认采取2维，距离测量默认勾选【卡方】。
• 【卡方】：分类变量的对应分析
• 【欧氏】：数值变量的对应分析

3. 常规参数设置

• 默认勾选【对应表】【行点概述】【列点概述】
• 有兴趣可考虑全部都选，多试试

4. 对应分析图参数设置

• 点击【图】按钮，默认勾选【双标图】

结果分析

1. 【对应表】

• 【行】和【列】在不同组合下的实际样本数。

2. 【摘要】

• 【维数】：其个数等于变量的最小分类数减1，往往前2~3个维度就已携带绝大多数信息；
• 【惯量占比】：各个维度所能解释的两个变量关系的百分比，前两个维度就累计解释了100%的信息。通常情况下累积解释率达80%以上即说明模型非常好
• 【总计-显著性】：卡方检验结果，显著性小于0.05，说明XXX和XXXX之间存在相关关系，这决定能否继续进行对应分析。
• 【奇异值和惯量】：奇异值的平方就是惯量；惯量：各维度的结果能够解释两个变量之间联系的程度。
• 【惯量比例（方差解释比例）】：每个维度的惯量占惯量总和的比例，体现每个维度携带的信息量。

3. 【概要】

• 活动边际：表示该行的总计百分比
• 数量：表示该行个案数目占总个案数目的百分比
• 活动边际：表示该列的总计百分比
• 数量：表示该列个案数目占总个案数目的百分比

4. 【总览】

• 【点对维的惯量】：分类变量中每个类别对维度的贡献，本例中第一维数主要被B/D/E所携带，也就是说这3个类别在第一维数上的区分比较好。
• 【维对点的惯量】：各类别的信息在各维数上的分布比例，如低收入的信息在第一个维度中占99.9%，第二个维度只有0.1%。
• 【数量】：各种类别的构成比，如偏好A的人占总数的构成比例是0.125；
• 【维得分】：行变量和列变量中每个类别在新产生两个维度中的坐标值。通过这两个表格的数据结果就能够做出对应分析散点图
• 【惯量】：总惯量（0.794）在行变量中的分解情况，数值越大表示该类别对惯量的贡献越大。代表对应维度在解释原始数据信息中的重要性
• 【总计】：各维数的信息比例之和，1表示某一类别在前两维中提取的100%的信息，效果最好。

5. 【对应分析图】

如何看图

1. 离原点越远，意味着该点对于‘关系幅度’的表达越强，即说明该点越能体现出‘关系’。
2. 点与点之间挨着越近（远），意味着它们之间关联关系越强（弱）。
3. 位于相同象限的不同变量的分类点之间的关联较强。
4. 靠近原点的散点通常没有倾向性，不做解释。没有差异并不代表不重要，只是没有差异
5. 每个维度可能代表了一种特征：实际上是提取出的主成分，但由于分类变量的信息较少，可能找不到合理的解释。eg：B/E和低收入，A/C/F和高收入，D和中收入存在着比较强的联系。从品牌角度思考，越远离中心的品牌，消费者很容易识别，说明品牌特征越明显，越靠近中心的品牌，消费者不易识别。

多重对应分析

简单对应分析中，模型会自动给出卡方检验，但多重对应分析需另外处理

1. 根据经验和卡方检验，筛选合适的变量进入模型。卡方检验此处不做详细说明，需证明两两具有相关性
2. 频数加权。此处同上
3. 【分析】-【降维】-【最优标度】

• step1：把要分析的三个变量都放在对话框里。解释维度默认是2。
• step2：把三个变量都放进联合类别图。

结果分析

1. 【模型摘要】

• 给出了各个维度上的特征值、惯量和解释方差百分比的信息，如第一维度和第二维度上分别可以解释数据变异的83%和79%
• 这张图可不看：这个模型是经过最优标度变换之后，再把信息投射在两个维度上，由于变换中损失了多少信息不知道，所以再看模型的两个维度携带了多少信息就没有意义了。

2. 【区分测量】

• 三个变量，在两个维度上投射的信息都很多（线段越长，投射信息越多）
• 假如有的变量在两个维度上携带的信息都很少，即线段很短，可考虑不放入模型。
• 变量若靠近维2或者维1，意味着不同变量在维度上有高的区分度和分散度。

3. 【联合图】

• 分析同上

4. 偏好排序

• 拓展部分，一般用不上
• 从中心向任意点连线-向量，往这条向量及延长线上作垂线，垂点越靠近向量正向的表示越偏好。
• 偏好E品牌的依次为中收入、高收入、低收入。

5. 属性相似性

• 向量夹角， 从余弦定理的角度看相似性。
• 夹角是锐角的话表示两个品牌具有相似性，锐角越小越相似；如果向量是钝角&平角，即为完全不同的品牌。

6. 产品定位：理想点与反理想点模型

• 以E为定位点，以它的利益为半径画圆：越先圈进来的人就是最喜欢这个品牌的消费群，越先圈进来的品牌越可能是竞争品牌，其他同理；

均值对应分析

根据对应分析的原理进行扩展应用，对应分析家族中的“异类”。与简单对应分析一样，都只涉及两个分类变量。

区别：均值对应分析基于定距变量，简单对应分析基于定类变量

1. 数据转换

• 需要将数据转换成表示行、列分类变量相关关系强度的数据
• 与简单对应分析不同，由于单元格内的数据不是频数，因此不能使用标准化残差来表示相关强度，而只能使用距离来表示相关强度。
• 举例说明转换过程：
• step1：单元格内的数字代表品牌销售数量
• step2：通过标准化残差公式，以第一个单元格的数据为例说明转换过程：
• step3：通过上述操作就顺利把频数转换为距离（单元格内的数据为连续型数据）

均值对应分析由于涉及数据转换和标准化方式选择，不同的数据标准化方式，最终作出的对应分析图也有很大的差别，应该结合原始数据和对应分析图来对分析结果的优劣做出综合评价。

2. 实践操作

• 以下为原始数据汇总表，与常规的对应分析数据类型不一致
• （数据纯属杜撰）
• 采用Syntax编程语言，将数据读入软件，这种方法简单快捷
• step1：【文件】-【新建】-【语法】，输入下面的语句，然后点击运行按钮。
• 也可以借用简单对应分析的操作步骤，复制并修改代码。即可省去自己手动编写的功夫。

3. 结果分析

• 前两个维度总共解释了原始数据信息量的98.2%，因此使用前两个维度就能展示分类变量的作用结果。通常情况下累积解释率达80%以上即说明模型非常好
• 如果发现前两个维度信息量太少，可以考虑选择3个（根据数据情况来），修改“解中的维数”，重新分析报告。

解读：

1. 通车里程和道路长度基本相近，水处理量则处在另一象限；
2. 城市2-9和城市11-20基本分开为两类城市，可以初步判断两类城市特点不同；
3. 城市1与其他城市明显有差异，返回原始数据看到城市1在三个维度上都是TOP1的数值；

参考文献

1. 李沛良 《社会研究的统计应用》
2. 陈哲 《活用数据》
3. 郑宗成，陈进《市场研究实务》
4. 张文彤《SPSS统计分析高级教程》
5. 王怀亮《R软件在对应分析中应用研究》

本文原文来自cxhub.cn