C语言实现高斯求积法（附带源码）

C语言实现高斯求积法（附带源码）

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_61840987/article/details/145024012

高斯求积法（Gaussian Quadrature）是一种高效的数值积分方法，通过选择特定的点（高斯点）和权重来近似计算定积分。本文将详细介绍高斯求积法的基本原理，并通过C语言实现一个简单的高斯求积法程序，帮助读者理解其具体应用。

高斯求积法的基本原理

高斯求积法基于选择适当的节点和权重，这些节点和权重能够最大程度地减少误差。最常见的高斯求积方法是高斯-勒让德求积法（Gaussian-Legendre Quadrature），它适用于区间 [−1,1]。对于一个区间 [a,b]，我们可以通过如下变换将其映射到区间 [−1,1]，然后应用高斯-勒让德求积法。

高斯求积法的公式

对于区间 [a,b] 上的积分：

其中：

• x_i 是高斯节点，通常是勒让德多项式的根。
• w_i 是权重，和节点 x_i 一一对应。

C语言实现高斯求积法

为了简化实现，我们可以选择一个固定数量的高斯点和权重。这里，我们使用2点高斯求积法，其节点和权重已知，适用于简单的积分问题。如果需要更多节点来提高精度，可以增加节点数。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义需要积分的函数 y = x^2
double f(double x) {
    return x * x;
}

// 高斯求积法，2点高斯法
double gaussian_quadrature(double (*func)(double), double a, double b) {
    // 高斯-勒让德 2 点节点和权重
    double x[2] = {-1.0 / sqrt(3), 1.0 / sqrt(3)};  // 节点
    double w[2] = {1.0, 1.0};  // 权重

    // 将区间 [a, b] 映射到 [-1, 1]
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        double xi = 0.5 * (b - a) * x[i] + 0.5 * (a + b);  // 映射到 [a, b]
        sum += w[i] * func(xi);  // 累加权重和函数值的乘积
    }

    // 返回积分结果
    return 0.5 * (b - a) * sum;  // 乘以区间长度的半
}

int main() {
    double a, b;

    // 输入积分的区间 [a, b]
    printf("请输入积分的下限 a: ");
    scanf("%lf", &a);
    printf("请输入积分的上限 b: ");
    scanf("%lf", &b);

    // 调用高斯求积法进行积分
    double result = gaussian_quadrature(f, a, b);

    // 输出结果
    printf("积分结果是: %.6f\n", result);

    return 0;
}

代码解析

1. 函数定义：

• f(double x) 定义了需要积分的函数 y = x^2。你可以根据需要替换成其他的函数。

2. 高斯求积法函数：

• gaussian_quadrature 函数是实际的高斯求积法实现。我们采用了2点高斯求积法，即使用两个节点和对应的权重。
• x[2] 数组表示两个节点，它们是通过高斯-勒让德多项式的根确定的。
• w[2] 数组表示两个节点的权重，都是 1。

3. 区间映射：

• 高斯求积法通常是在区间 [-1, 1] 上进行积分，我们通过变换将任意区间 [a,b] 映射到 [-1, 1]，并相应调整节点。

4. 结果计算：

• sum 是加权和，通过循环遍历所有节点计算积分的近似值。
• 最终返回结果时需要乘以 0.5 * (b - a)，即区间长度的一半。

运行结果

假设我们要求解 y = x^2 在区间 [0,1] 上的积分，即：

用户输入：

• a=0
• b=1

程序输出的结果应接近 1/3≈0.333333。

请输入积分的下限 a: 0
请输入积分的上限 b: 1
积分结果是: 0.333333

总结

• 高斯求积法是一种非常高效的数值积分方法，尤其适用于对平滑函数的积分。相比传统的梯形法则和辛普森法则，它可以提供更高的精度。
• 本示例中，我们使用了2点高斯求积法，并通过将积分区间映射到 [−1,1]，然后计算积分。
• 对于不同的积分区间和函数，可以通过增加高斯节点数来提高积分的精度。常见的高斯求积法包括 2点、3点、5点等，节点数越多，精度越高，但计算量也随之增加。

如果需要更高精度的积分，可以选择更多的高斯点（如 3 点、4 点、5 点高斯求积法等），这些点和权重可以通过查表获得。