平面与平面垂直的判定定理

平面与平面垂直的判定定理

引用

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1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/3kXPaApIfQP.html

平面与平面垂直的判定定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了两个平面互相垂直的条件。以下是该定理的具体内容及其证明过程。

定理描述

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。用几何语言描述就是：如果直线a垂直于平面β，且直线a位于平面α内，那么平面α垂直于平面β。用符号表示为：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β。

证明过程

1. 任意两个平面的关系：任意两个平面的关系为相交或平行。设直线a垂直于平面β，垂足为点P，那么点P属于平面β。

2. 公共点的存在性：因为直线a位于平面α内，且点P在直线a上，所以点P也属于平面α。这意味着平面α和β有一个公共点P，因此它们相交。

3. 交线的确定：设平面α和β的交线为b，因为点P是α和β的公共点，所以点P也在直线b上。

4. 构造辅助线：过点P在平面β内作直线c垂直于直线b。

5. 垂直关系的推导：

• 因为直线b位于平面β内，且直线a垂直于平面β，所以直线a垂直于直线b，垂足为点P。
• 又因为直线c垂直于直线b，垂足也为点P，所以∠aPc是二面角α-b-β的平面角。
• 因为直线c位于平面β内，且直线a垂直于平面β，所以直线a垂直于直线c，即∠aPc=90°。

6. 结论：根据面面垂直的定义，如果二面角的平面角是直角，那么这两个平面互相垂直。因此，平面α垂直于平面β。