三角函数在机器学习中的应用

三角函数在机器学习中的应用

三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。在机器学习中，三角函数可以用于处理周期性特征，如时间序列数据中的小时、星期、月份等。本文将从基础概念出发，详细介绍三角函数的定义、性质及其在机器学习中的应用。

三角函数回顾

六大三角函数

直角三角形定义

在一个直角三角形中，假设有一个锐角$\theta$，定义：

• 邻边（Adjacent）：与角 $\theta$相邻的边。
• 对边（Opposite）：与角 $\theta$ 相对的边。
• 斜边（Hypotenuse）：直角三角形的最长边（对着直角）。

• 正弦（sinθ）= 对边 / 斜边
• 余弦（cosθ）= 邻边 / 斜边
• 正切（tanθ）= 对边 / 邻边 = $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
• 余切（cotθ）= 邻边 / 对边 = $\frac{1}{\tan\theta}$
• 正割（secθ）= 斜边 / 邻边 = $\frac{1}{\cos\theta}$
• 余割（cscθ）= 斜边 / 对边 = $\frac{1}{\cos\theta}$

单位圆定义

在单位圆（半径=1）中，角度 𝜃θ 终边交于点 (x,y)：

• sinθ = y
• cosθ = x
• tanθ = y/x
• cotθ = x/y
• secθ = 1/x
• cscθ = 1/y

单位圆中的 sin 和 cos

将角度 $\theta$放在单位圆（半径为1的圆）中，几何意义更加通用：

• 以坐标原点为中心，角 $\theta$ 的终边（从x轴正方向逆时针旋转得到）与单位圆交于点 (x, y)。
• 余弦（cosθ）是终边交点的 x坐标。
• 正弦（sinθ）是终边交点的 y坐标。

关键性质

• 任何角度都适用（包括超过90度的角和负角）。
• 符号规则：
• 第一象限（0°~90°）：$\sin\theta > 0，\cos\theta > 0$
• 第二象限（90°~180°）：$\sin\theta > 0，\cos\theta < 0$
• 第三象限（180°~270°）：$\sin\theta < 0，\cos\theta < 0$
• 第四象限（270°~360°）：$\sin\theta < 0，\cos\theta > 0$

几何意义总结

• cosθ：反映角度 $\theta$ 在水平方向（x轴）的投影比例。例如：推箱子时，力的水平分量 = 力的大小 × cosθ。
• sinθ：反映角度 $\theta$ 在垂直方向（y轴）的投影比例。例如：斜坡上物体的重力沿斜坡的分量 = 重力 × sinθ。

三角函数的图像与性质

正弦函数（sinθ）

• 图像：周期性波浪线，周期$2\pi$，范围[−1,1]。
• 对称性：奇函数（关于原点对称）。
• 零点：$0, \pi, 2\pi, \dots$

余弦函数（cosθ）

• 图像：类似正弦曲线，但起点在(0,1)，周期$2\pi$，范围 [−1,1]。
• 对称性：偶函数（关于y轴对称）。
• 零点：$\pi/2, 3\pi/2, \dots$

正切函数（tanθ）

• 图像：周期性曲线，周期$\pi$，在$\pi/2 + k\pi$处有垂直渐近线。
• 定义域：$\theta \neq \pi/2 + k\pi$
• 值域：全体实数$(-\infty, +\infty)$。

其他函数图像

• cotθ：与 tanθ 图像相似，但相位偏移𝜋/2。
• secθ和 cscθ：分别在 cosθ 和 sinθ 的零点处有渐近线。

图像记忆法

• 余弦曲线（cosθ）：关于y轴对称的波浪线，起点在(0,1)(0,1)。
• 正弦曲线（sinθ）：关于原点对称的波浪线，起点在(0,0)(0,0)。

重要公式与恒等式

基本关系

倒数关系：

$$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$

商数关系：

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

勾股定理：

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta, \quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$

角度转化：

$$\cos(-\theta) = \cos\theta , \quad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$

和差角公式

$$ \begin{aligned} \sin(A \pm B) &= \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \end{aligned}$$

倍角与半角公式

倍角公式：

$$\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta, \quad \cos 2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta$$

半角公式：

$$\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 – \cos\theta}{2}}, \quad \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$$

导数和积分

导数

$$\begin{aligned} \frac{d}{d\theta} \sin\theta &= \cos\theta \ \frac{d}{d\theta} \cos\theta &= -\sin\theta \ \frac{d}{d\theta} \tan\theta &= \sec^2\theta \ \frac{d}{d\theta} \cot\theta &= -\csc^2\theta \ \end{aligned}$$

积分

$$\begin{aligned} \int \sin\theta , d\theta &= -\cos\theta + C \ \int \cos\theta , d\theta &= \sin\theta + C \ \int \tan\theta , d\theta &= -\ln|\cos\theta| + C \ \end{aligned}$$

反三角函数

反三角函数用于从已知的三角函数值求角度：

• arcsin（反正弦）：定义域 [-1, 1]，值域 [-π/2, π/2]。
• arccos（反余弦）：定义域 [-1, 1]，值域 [0, π]。
• arctan（反正切）：定义域全体实数，值域 (-π/2, π/2)。

示例：

• $\arcsin(0.5) = π/6$
• $\arccos(-1) = π$
• $\arctan(1) = π/4$

实际应用场景

• 物理学：
• 力的分解（如斜面上的重力分解）。
• 简谐振动（弹簧振子的运动方程）。
• 工程学：
• 交流电路分析（电压和电流的相位关系）。
• 信号处理（傅里叶变换中的正弦波合成）。
• 计算机图形学：
• 3D旋转（旋转矩阵中使用 sin 和 cos）。
• 光照模型（计算光线与表面法线的夹角）。
• 地理测量：
• 三角定位（GPS、地图测绘）。
• 机器学习：
• 特征工程（周期性特征的编码，如时间序列的月份、星期）。
• 数据增强（图像旋转中的坐标变换）。

常见误区

• 角度单位混淆：区分弧度（radians）和角度（degrees），公式中默认用弧度。
• 反三角函数的多值性：如 $\arcsin(0.5)$ 可能有多个解，但主值唯一。

三角函数与特征工程

在机器学习中，对时间相关的周期性特征（如小时、星期、月份）进行编码时，直接使用原始数值（例如用 1~12 表示月份）可能会引入误导性假设（如“12月”和“1月”在数值上相邻，但实际时间上是连续的）。三角函数编码（正弦/余弦变换）可以将周期性特征映射到连续的循环空间，保留时间的内在周期性。

周期性特征的问题

假设原始特征为小时（0~23），直接输入模型可能导致以下问题：

• 数值跳跃性：23点和0点相差1，但实际是连续的。
• 线性误解：模型可能认为“23点”和“0点”距离很远，但实际上它们是相邻的。

解决方案：三角函数编码

将周期性特征映射到正弦和余弦函数上，保留循环性：

将特征归一化到 [0, 2π] 范围：

$$\text{弧度} = \frac{2\pi \times \text{原始值}}{\text{周期长度}}$$

例如，小时（周期24）的弧度为：$2\pi \times \text{小时} / 24$

计算正弦和余弦值：

$$\sin(\text{弧度}), \quad \cos(\text{弧度})$$

同时使用两个函数可以消除单一函数的对称性歧义（如 $\sin(0) = \sin(\pi) = 0$）。

Python代码实现

生成示例数据

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建示例数据：时间特征（小时、星期、月份）
data = {
    "hour": np.arange(0, 24),
    "day_of_week": np.tile(np.arange(0, 7), 4)[:24], # 重复4次并截取前24个
    "month": np.tile(np.arange(1, 13), 2)[:24] # 重复2次得到24个
}
df = pd.DataFrame(data)

定义周期性编码函数

def encode_cyclic_feature(df, col_name, period):
    """将周期性特征编码为sin和cos分量"""
    # 计算弧度
    radians = 2 * np.pi * df[col_name] / period
    # 计算sin和cos
    df[f"{col_name}_sin"] = np.sin(radians)
    df[f"{col_name}_cos"] = np.cos(radians)
    return df

# 对小时、星期、月份分别编码
df = encode_cyclic_feature(df, "hour", period=24)
df = encode_cyclic_feature(df, "day_of_week", period=7)
df = encode_cyclic_feature(df, "month", period=12)

# 查看结果
print(df[["hour", "hour_sin", "hour_cos"]].head(3))

输出示例：

   hour  hour_sin  hour_cos
0     0  0.000000  1.000000
1     1  0.258819  0.965926
2     2  0.500000  0.866025

可视化编码效果

# 绘制小时的sin/cos编码效果
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.scatter(df["hour"], df["hour_sin"], label="hour_sin")
plt.scatter(df["hour"], df["hour_cos"], label="hour_cos")
plt.xlabel("Original Hour")
plt.ylabel("Encoded Value")
plt.title("Cyclic Encoding of Hour")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

可以看到，23点和0点的编码值在正弦和余弦空间中是连续的。

编码原理详解

为什么同时使用sin和cos？

• 单一函数的局限性：单独使用sin 或 cos 会导致不同时间点具有相同的编码值（例如，sin(0) = sin(π) = 0）。
• 互补性：同时使用sin 和 cos 可以消除歧义，确保每个时间点对应唯一的二维坐标。

几何意义

• 将时间特征映射到单位圆上的一个点，坐标由$(\sin(\theta), \cos(\theta))$决定。
• 周期性特征的相邻值在单位圆上相邻，保留时间连续性。

特征工程

将原始特征替换为 sin 和 cos 分量后，输入模型：

# 示例：使用编码后的特征训练模型
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 假设X包含编码后的特征，y是目标变量
X = df[["hour_sin", "hour_cos", "day_of_week_sin", "day_of_week_cos", "month_sin", "month_cos"]]
y = ... # 目标变量（如销售额）
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

优势

• 保留周期性：模型能理解23点和0点的连续性。
• 低维度：每个周期性特征仅增加2个维度（优于独热编码的高维度）。

对比其他编码方法

扩展：处理不规则周期

对于不规则周期（如每月的天数不同），可以按实际周期长度调整：

# 示例：月份的周期按实际天数调整（假设非闰年）
month_days = [31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31]
df["month_radians"] = 2 * np.pi * (df["month"] - 1) / month_days # 月份从1开始

掌握这种编码方式后，你可以更好地处理时间序列、传感器数据等周期性特征！如果需要对其他类型特征（如方位角）编码，方法类似。