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Euler 方法：解 ODE 的简单利器

创作时间:

2025-03-20 00:38:34

作者:

@小白创作中心

Euler 方法：解 ODE 的简单利器

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/shizheng_Li/article/details/146134611

在研究常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）时，我们常常需要数值方法来求解，因为许多 ODE 无法直接得到解析解。Euler 方法（Euler Method）是最简单、最直观的数值解法之一，属于一阶方法，特别适合初学者理解。本文将介绍 Euler 方法的原理、推导及其应用，并提供 Python 代码实现，帮助读者快速上手。

什么是 Euler 方法？

Euler 方法是一种用于求解初值问题的数值方法。给定一个一阶 ODE：

$$
\frac{dx(t)}{dt} = f(t, x), \quad x(t_0) = x_0
$$

其中：

$x(t)$ 是待求解的函数。
$f(t, x)$ 是导数函数。
$x_0$ 是初始条件。

Euler 方法通过离散化时间，将连续的变化近似为一系列小步迭代：

$$
x_{i+1} = x_i + \alpha \cdot f(t_i, x_i), \quad i = 0, 1, \dots, N-1
$$

$\alpha$：步长（step size），控制每次迭代的时间增量。
$t_i = t_0 + i \alpha$：离散时间点。
$x_i$：$t_i$ 时刻的近似解。

原理：从导数到离散

导数的定义

导数的本质是变化率：

$$
\frac{dx(t)}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}
$$

Euler 方法假设 $\Delta t = \alpha$ 是一个有限小步长，近似为：

$$
\frac{x(t + \alpha) - x(t)}{\alpha} \approx f(t, x(t))
$$

两边乘以 $\alpha$：

$$
x(t + \alpha) \approx x(t) + \alpha f(t, x(t))
$$

这正是 Euler 方法的迭代公式，用当前点的斜率 $f(t, x)$ 预测下一步的位置。

几何直觉

想象 $x(t)$ 是一条曲线，$f(t, x)$ 是曲线的切线斜率。Euler 方法沿着切线走一小步 $\alpha$，然后在新的位置重新计算斜率，继续前进。虽然简单，但这种“直线逼近”在步长足够小时能很好地追踪曲线。

示例：用 Euler 方法解 ODE

考虑一个具体的 ODE：

$$
\frac{dx(t)}{dt} = \frac{x(t) + t^2 - 2}{t + 1}, \quad x(0) = x_0
$$

对应的 $f(t, x) = \frac{x + t^2 - 2}{t + 1}$。用 Euler 方法迭代：

$$
x_{i+1} = x_i + \alpha \cdot \frac{x_i + t_i^2 - 2}{t_i + 1}
$$

$t_i = i \alpha$（从 $t_0 = 0$ 开始）。
每次用当前 $x_i$ 和 $t_i$ 计算斜率，更新 $x_{i+1}$。

Python 代码实现

以下是用 Python 实现 Euler 方法的代码，以上述 ODE 为例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义导数函数 f(t, x)
def f(t, x):
    return (x + t**2 - 2) / (t + 1)

# Euler 方法求解 ODE
def euler_method(t0, x0, alpha, t_end):
    """
    Args:
        t0: 初始时间
        x0: 初始值 x(t0)
        alpha: 步长
        t_end: 结束时间
    Returns:
        t_values: 时间点数组
        x_values: 解的数组
    """
    # 计算步数
    N = int((t_end - t0) / alpha)
    t_values = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
    x_values = np.zeros(N + 1)
    x_values[0] = x0
    
    # Euler 迭代
    for i in range(N):
        t_i = t_values[i]
        x_i = x_values[i]
        x_values[i + 1] = x_i + alpha * f(t_i, x_i)
    
    return t_values, x_values

# 参数设置
t0 = 0.0      # 初始时间
x0 = 1.0      # 初始值
alpha = 0.1   # 步长
t_end = 2.0   # 结束时间

# 运行 Euler 方法
t_values, x_values = euler_method(t0, x0, alpha, t_end)

# 可视化
plt.plot(t_values, x_values, label=f'Euler Method (step size = {alpha})', marker='o')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.title('Euler Method for dx/dt = (x + t^2 - 2) / (t + 1)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

代码说明

导数函数：

def f(t, x):
    return (x + t**2 - 2) / (t + 1)

定义了 ODE 的右端。

Euler 方法：
```
def euler_method(t0, x0, alpha, t_end):
    ...
```
函数实现迭代，从 $t_0$ 到 $t_{\text{end}}$ 计算 $x(t)$。
可视化：用 Matplotlib 绘制解的轨迹，步长为 0.1。